函数 f(x)=} (e^x-1)/(x), & xneq0 1, & x=0 在 x=0 处( )A. 不连续B. 连续但不可导C. 可导且导数等于0D. 可导且导数不为0

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，需要综合运用极限、洛必达法则等知识。

解题核心思路：

1. 连续性判断：计算函数在$x=0$处的极限值，与$f(0)$比较，若相等则连续。
2. 可导性判断：利用导数定义计算$f'(0)$，若极限存在则可导，进一步判断导数值是否为0。

破题关键点：

• 连续性：通过洛必达法则计算$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$，验证极限是否等于$f(0)$。
• 可导性：通过导数定义和两次洛必达法则计算$f'(0)$，确定导数是否存在且是否为0。

连续性分析

计算$\lim_{x \to 0} f(x)$：
当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$。
当$x \to 0$时，分子$e^x - 1 \to 0$，分母$x \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1.$
由于$f(0) = 1$，满足$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，故函数在$x=0$处连续。

可导性分析

计算$f'(0)$：
根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h - 1}{h} - 1}{h}.$
化简分子：
$\frac{e^h - 1}{h} - 1 = \frac{e^h - 1 - h}{h}.$
因此：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1 - h}{h^2}.$
当$h \to 0$时，分子$e^h - 1 - h \to 0$，分母$h^2 \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式，应用洛必达法则：
$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1 - h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{dh}(e^h - 1 - h)}{\frac{d}{dh}h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{2h}.$
再次应用洛必达法则：
$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{dh}(e^h - 1)}{\frac{d}{dh}2h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h}{2} = \frac{1}{2}.$
因此，$f'(0) = \frac{1}{2} \neq 0$，函数在$x=0$处可导且导数不为0。