下列区间中，使方程 x^3 - 4x^2 + 1 = 0 至少有一个根的区间是A. (1, 2)B. (2, 3)C. (0, 1)D. (0, (1)/(2))

我们要求判断方程
$x^3 - 4x^2 + 1 = 0$
在哪个区间中至少有一个实根。
我们可以使用介值定理（Intermediate Value Theorem）来判断：
如果函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号（即一正一负），
那么在开区间 $ (a, b) $ 内至少存在一个实根。

第一步：定义函数

令
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$
这是一个多项式函数，处处连续，满足介值定理的条件。

我们只需在各个选项的区间端点计算函数值，看是否变号。

选项 A：$(1, 2)$

计算 $ f(1) $ 和 $ f(2) $：

• $ f(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 $
• $ f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7 $

两者都为负，没有变号，所以不能确定在 $ (1,2) $ 内有根。
（注意：不能排除有两个根的可能，但介值定理无法保证有根）

→ 排除 A

选项 B：$(2, 3)$

• $ f(2) = -7 $（已算）
• $ f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 1 = 27 - 36 + 1 = -8 $

都是负数，没有变号。

→ 排除 B

选项 C：$(0, 1)$

• $ f(0) = 0^3 - 4\cdot0^2 + 1 = 1 $
• $ f(1) = -2 $（已算）

$ f(0) = 1 > 0 $，$ f(1) = -2 < 0 $，符号由正变负，函数连续，
根据介值定理，在 $ (0,1) $ 内至少有一个实根。

→ C 是正确答案的候选

选项 D：$\left(0, \frac{1}{2}\right)$

我们检查这个区间是否也可能有根，但题目只要求“至少有一个根”的区间，可能有多个正确，但通常单选。

计算：

• $ f(0) = 1 > 0 $
• $ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{8} - 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} - 1 + 1 = \frac{1}{8} > 0 $

所以 $ f(0) = 1 > 0 $，$ f(0.5) = 0.125 > 0 $，没有变号，
因此在 $ (0, 0.5) $ 内无法保证有根

→ 排除 D

结论：

只有选项 C：$(0,1)$ 满足函数值在端点异号，
因此根据介值定理，方程在该区间至少有一个实根。

答案：

$\boxed{\text{C}}$