题目
4.用一个仪表测量某一物理量9次,得样本均值 overline (x)=56.32, 样本标准差 =0.22.-|||-(1)测量标准差σ的大小反映了测量仪表的精度,试求σ的置信水平为0.95的置-|||-信区间;-|||-(2)求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本方差
样本方差 $s^2$ 可以通过样本标准差 $s$ 计算得到，即 $s^2 = (0.22)^2 = 0.0484$。
步骤 2：计算 $(n-1)s^2$
样本容量 $n=9$，因此 $(n-1)s^2 = 8 \times 0.0484 = 0.3872$。
步骤 3：查找卡方分布临界值
对于置信水平为0.95，自由度为8的卡方分布，查表得到 $X^2_{0.025}(8)=2.1797$ 和 $X^2_{0.975}(8)=17.5345$。
步骤 4：计算σ的置信区间
根据卡方分布，σ^2的置信区间为 $[\frac{(n-1)s^2}{X^2_{0.975}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{X^2_{0.025}(n-1)}]$，代入数值得到 $[0.0221, 0.1776]$。因此σ的置信区间为 $[\sqrt{0.0221}, \sqrt{0.1776}] = [0.1487, 0.4214]$。
步骤 5：计算物理量真值的置信区间
对于置信水平为0.99，自由度为8的t分布，查表得到 $t_{0.995}(8)=3.3554$。物理量真值的置信区间为 $[\overline{x} - t_{0.995}(8) \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.995}(8) \times \frac{s}{\sqrt{n}}]$，代入数值得到 $[56.32 - 3.3554 \times \frac{0.22}{\sqrt{9}}, 56.32 + 3.3554 \times \frac{0.22}{\sqrt{9}}] = [56.0739, 56.5661]$。
样本方差 $s^2$ 可以通过样本标准差 $s$ 计算得到，即 $s^2 = (0.22)^2 = 0.0484$。
步骤 2：计算 $(n-1)s^2$
样本容量 $n=9$，因此 $(n-1)s^2 = 8 \times 0.0484 = 0.3872$。
步骤 3：查找卡方分布临界值
对于置信水平为0.95，自由度为8的卡方分布，查表得到 $X^2_{0.025}(8)=2.1797$ 和 $X^2_{0.975}(8)=17.5345$。
步骤 4：计算σ的置信区间
根据卡方分布，σ^2的置信区间为 $[\frac{(n-1)s^2}{X^2_{0.975}(n-1)}, \frac{(n-1)s^2}{X^2_{0.025}(n-1)}]$，代入数值得到 $[0.0221, 0.1776]$。因此σ的置信区间为 $[\sqrt{0.0221}, \sqrt{0.1776}] = [0.1487, 0.4214]$。
步骤 5：计算物理量真值的置信区间
对于置信水平为0.99，自由度为8的t分布，查表得到 $t_{0.995}(8)=3.3554$。物理量真值的置信区间为 $[\overline{x} - t_{0.995}(8) \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{0.995}(8) \times \frac{s}{\sqrt{n}}]$，代入数值得到 $[56.32 - 3.3554 \times \frac{0.22}{\sqrt{9}}, 56.32 + 3.3554 \times \frac{0.22}{\sqrt{9}}] = [56.0739, 56.5661]$。