题目
17.(本题10分)-|||-真空中有一边长为l的正三角形导体框架.另有相互平行并与三角形的bc边平行的-|||-长直导线1和2,它们分别在a点和b点与三角形导体框架相连(见图 -12. 已知直导线-|||-中的电流为I,三角形框的每一边长为l,求正三角形中心点O处的磁感强度B.-|||-1 I a-|||-0-|||-2 I-|||-b e c-|||-图 7-12
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定三角形中心点O处的磁感强度B的贡献
三角形导体框架由三段导线组成，每段导线对中心点O处的磁感强度B都有贡献。由于三角形是正三角形，每段导线对中心点O处的磁感强度B的贡献是相同的。此外，长直导线1和2对中心点O处的磁感强度B也有贡献。
步骤 2：计算长直导线对中心点O处的磁感强度B的贡献
根据毕奥-萨伐尔定律，长直导线在距离导线r处产生的磁感强度B为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是电流，r是距离导线的距离。对于长直导线1和2，它们在中心点O处产生的磁感强度B的大小相同，方向相反，因此它们在中心点O处的磁感强度B的矢量和为零。
步骤 3：计算三角形导体框架对中心点O处的磁感强度B的贡献
三角形导体框架的每一边长为l，中心点O到每一边的距离为\(r = \frac{l}{\sqrt{3}}\)。根据毕奥-萨伐尔定律，每段导线在中心点O处产生的磁感强度B为：
\[ B_{\text{边}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} \]
由于三角形导体框架有三段导线，它们在中心点O处产生的磁感强度B的矢量和为：
\[ B_{\text{总}} = 3B_{\text{边}} = 3 \times \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} = \frac{3\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} \]
但是，由于三角形导体框架的每一边对中心点O处的磁感强度B的贡献方向不同，它们在中心点O处的磁感强度B的矢量和为：
\[ B_{\text{总}} = \frac{3\mu_0 I}{4\pi l}(\sqrt{3}-1) \]
三角形导体框架由三段导线组成，每段导线对中心点O处的磁感强度B都有贡献。由于三角形是正三角形，每段导线对中心点O处的磁感强度B的贡献是相同的。此外，长直导线1和2对中心点O处的磁感强度B也有贡献。
步骤 2：计算长直导线对中心点O处的磁感强度B的贡献
根据毕奥-萨伐尔定律，长直导线在距离导线r处产生的磁感强度B为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是电流，r是距离导线的距离。对于长直导线1和2，它们在中心点O处产生的磁感强度B的大小相同，方向相反，因此它们在中心点O处的磁感强度B的矢量和为零。
步骤 3：计算三角形导体框架对中心点O处的磁感强度B的贡献
三角形导体框架的每一边长为l，中心点O到每一边的距离为\(r = \frac{l}{\sqrt{3}}\)。根据毕奥-萨伐尔定律，每段导线在中心点O处产生的磁感强度B为：
\[ B_{\text{边}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \frac{l}{\sqrt{3}}} = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} \]
由于三角形导体框架有三段导线，它们在中心点O处产生的磁感强度B的矢量和为：
\[ B_{\text{总}} = 3B_{\text{边}} = 3 \times \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} = \frac{3\mu_0 I \sqrt{3}}{2\pi l} \]
但是，由于三角形导体框架的每一边对中心点O处的磁感强度B的贡献方向不同，它们在中心点O处的磁感强度B的矢量和为：
\[ B_{\text{总}} = \frac{3\mu_0 I}{4\pi l}(\sqrt{3}-1) \]