三、题型解析题型一：单中值问题例1：设f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，f(1)=(1)/(2)，f(2)=2，求证：至少存在一点ξ∈(1,2)，使得f'(ξ)=(2f(ξ))/(ξ).

本题考查罗尔定理的应用。解题的关键思路是通过构造一个合适的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理得出结论。

1. 构造辅助函数：
   要证明$f'(\xi)=\frac{2f(\xi)}{\xi}$，即$f'(\xi)\xi - 2f(\xi)=0$。我们考虑构造函数$g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}$。
   • 因为$f(x)$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导，$y = x^{2}$在$[1,2]$上连续且不为$0$，在$(1,2)$内可导，根据函数的四则运算性质，$g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导。
2. 计算$g(x)$在区间端点的值：
   • 已知$f(1)=\frac{1}{2}$，将$x = 1$代入$g(x)$可得$g(1)=\frac{f(1)}{1^{2}}=\frac{1}{2}$。
   • 已知$f(2)=2$，将$x = 2$代入$g(x)$可得$g(2)=\frac{f(2)}{2^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
   • 所以$g(1)=g(2)$。
3. 应用罗尔定理：
   • 由于$g(x)$在$[1,2]$上连续，在$(1,2)$内可导，且$g(1)=g(2)$，根据罗尔定理，至少存在一点$\xi\in(1,2)$，使得$g'(\xi)=0$。
4. 求$g(x)$的导数并化简：
   • 根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，对于$g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}$，其中$u = f(x)$，$v = x^{2}$，$u^\prime=f^\prime(x)$，$v^\prime = 2x$，则$g^\prime(x)=\frac{f^\prime(x)\cdot x^{2}-f(x)\cdot2x}{(x^{2})^{2}}=\frac{f^\prime(x)x - 2f(x)}{x^{3}}$。
5. 得出结论：
   • 因为$g'(\xi)=0$，即$\frac{f'(\xi)\xi - 2f(\xi)}{\xi^{3}} = 0$，由于$\xi\in(1,2)$，$\xi^{3}\neq0$，所以$f'(\xi)\xi - 2f(\xi)=0$，移项可得$f'(\xi)=\frac{2f(\xi)}{\xi}$。