题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，且 sigma^2 已知，现在以置信度 1-alpha 估计总体均值 mu，下列做法中一定能使估计更精确的是()。A. 提高置信度 1-alpha，增加样本容量B. 提高置信度 1-alpha，减少样本容量C. 降低置信度 1-alpha，增加样本容量D. 降低置信度 1-alpha，减少样本容量
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 已知，现在以置信度 $1-\alpha$ 估计总体均值 $\mu$，下列做法中一定能使估计更精确的是()。
A. 提高置信度 $1-\alpha$，增加样本容量
B. 提高置信度 $1-\alpha$，减少样本容量
C. 降低置信度 $1-\alpha$，增加样本容量
D. 降低置信度 $1-\alpha$，减少样本容量
题目解答
答案
C. 降低置信度 $1-\alpha$，增加样本容量
解析
步骤 1：理解置信区间长度的公式
参数 $\mu$ 的置信区间长度为 $L = 2 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}$。其中，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数。
步骤 2：分析样本容量对置信区间长度的影响
增加样本容量 $n$ 可以减小 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，从而减小 $L$。因此，增加样本容量会使估计更精确。
步骤 3：分析置信度对置信区间长度的影响
降低置信度 $1 - \alpha$ 可以减小 $u_{\frac{\alpha}{2}}$，从而减小 $L$。因此，降低置信度会使估计更精确。
步骤 4：分析选项
A. 提高置信度并增加样本容量：无法确定总影响。
B. 提高置信度并减少样本容量：置信区间长度增大。
C. 降低置信度并增加样本容量：同时减小 $u_{\frac{\alpha}{2}}$ 和 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，估计更精确。
D. 降低置信度并减少样本容量：无法确定总影响。
参数 $\mu$ 的置信区间长度为 $L = 2 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}$。其中，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数。
步骤 2：分析样本容量对置信区间长度的影响
增加样本容量 $n$ 可以减小 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，从而减小 $L$。因此，增加样本容量会使估计更精确。
步骤 3：分析置信度对置信区间长度的影响
降低置信度 $1 - \alpha$ 可以减小 $u_{\frac{\alpha}{2}}$，从而减小 $L$。因此，降低置信度会使估计更精确。
步骤 4：分析选项
A. 提高置信度并增加样本容量：无法确定总影响。
B. 提高置信度并减少样本容量：置信区间长度增大。
C. 降低置信度并增加样本容量：同时减小 $u_{\frac{\alpha}{2}}$ 和 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，估计更精确。
D. 降低置信度并减少样本容量：无法确定总影响。