7.设某批电子管的合格品率为(3)/(4)，不合格品率为(1)/(4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到合格品，求X的分布律.

本题考查几何分布的概念及分布律的求解。解题的关键在于理解首次测到合格品这一事件的含义，即前$k - 1$次测试得到的都是不合格品，而第$k$次测试得到的是合格品，然后根据独立事件概率的乘法公式来计算$X$取不同值时的概率。

详细解答

设随机变量$X$表示首次测到合格品的次数，已知合格品率为$p = \frac{3}{4}$，不合格品率为$q = \frac{1}{4}$。

• 确定$X$的可能取值：
  因为测试是从第$1$次开始，可能第$1$次就测到合格品，也可能第$2$次、第$3$次……才测到合格品，所以$X$的可能取值为$1, 2, 3, \ldots$。
• 计算$P(X = k)$的概率：
  $P(X = k)$表示前$k - 1$次测到不合格品，第$k$次测到合格品。
  由于每次测试的结果是相互独立的，根据独立事件概率的乘法公式：若事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$相互独立，则$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$。
  前$k - 1$次测到不合格品的概率为$q\times q\times\cdots\times q$（共$k - 1$个$q$相乘），即$q^{k - 1}$；第$k$次测到合格品的概率为$p$。
  所以$P(X = k)=q^{k - 1} \times p$，将$p = \frac{3}{4}$，$q = \frac{1}{4}$代入可得$P(X = k)=\left(\frac{1}{4}\right)^{k - 1} \times \frac{3}{4}$，其中$k = 1, 2, 3, \ldots$。