题目
设 X sim N(3, 4)，试求：（1）P(5 < X < 9)；（2）P(X > 7)。（已知 Phi(1) = 0.8413，Phi(2) = 0.9772，Phi(3) = 0.9987）
设 $X \sim N(3, 4)$，试求：（1）$P(5 < X < 9)$；（2）$P(X > 7)$。（已知 $\Phi(1) = 0.8413$，$\Phi(2) = 0.9772$，$\Phi(3) = 0.9987$）
题目解答
答案
我们已知随机变量 $ X \sim N(3, 4) $，即 $ X $ 服从均值为 3，方差为 4 的正态分布。
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## 解题思路：
为了求解正态分布的概率，我们需要将 $ X $ 标准化为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $，使用标准化公式：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
其中：
- $ \mu = 3 $ 是均值
- $ \sigma = \sqrt{4} = 2 $ 是标准差
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## （1）求 $ P(5 < X < 9) $
我们将其转换为标准正态分布的概率：
$$
P(5 < X < 9) = P\left( \frac{5 - 3}{2} < Z < \frac{9 - 3}{2} \right) = P(1 < Z < 3)
$$
查表或使用已知的 $ \Phi $ 值：
- $ \Phi(1) = 0.8413 $
- $ \Phi(3) = 0.9987 $
所以：
$$
P(1 < Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(1) = 0.9987 - 0.8413 = 0.1574
$$
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## （2）求 $ P(X > 7) $
同样地，标准化：
$$
P(X > 7) = P\left( Z > \frac{7 - 3}{2} \right) = P(Z > 2)
$$
我们知道：
- $ \Phi(2) = 0.9772 $，即 $ P(Z \leq 2) = 0.9772 $
所以：
$$
P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228
$$
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## 最终答案：
（1）$ P(5 < X < 9) = \boxed{0.1574} $
（2）$ P(X > 7) = \boxed{0.0228} $
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，需要掌握标准化变换的方法，并能利用标准正态分布函数$\Phi(z)$求解概率。
解题核心思路：
- 标准化：将任意正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$转化为标准正态分布$Z \sim N(0,1)$，公式为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 概率转换：将原问题中的不等式范围代入标准化公式，转化为标准正态分布的概率表达式。
- 查表计算：利用已知的$\Phi(z)$值（标准正态分布的累积概率）进行计算。
第（1）题：求$P(5 < X < 9)$
标准化处理
根据公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，代入$\mu = 3$，$\sigma = 2$：
$P(5 < X < 9) = P\left(\frac{5-3}{2} < Z < \frac{9-3}{2}\right) = P(1 < Z < 3)$
计算概率差值
利用$\Phi(z)$的定义（$P(Z \leq z)$）：
$P(1 < Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(1) = 0.9987 - 0.8413 = 0.1574$
第（2）题：求$P(X > 7)$
标准化处理
同理，代入标准化公式：
$P(X > 7) = P\left(Z > \frac{7-3}{2}\right) = P(Z > 2)$
计算右侧概率
利用$\Phi(2)$的值：
$P(Z > 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$