设 n 个随机变量 X_1, X_2, ldots, X_n 独立同分布, D(X_1) = sigma^2, overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i, S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2, 则()A. S 是 sigma_1 的无偏估计量B. S 与 overline(X) 相互独立C. S 是 sigma 的一致估计量D. S 是 sigma 的最大似然估计量

我们来逐项分析这道题。题目给出了： - $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是独立同分布的随机变量； - $ D(X_1) = \sigma^2 $，即方差为 $ \sigma^2 $； - 样本均值：$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $； - 样本方差：$ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $； - 问哪一个选项是正确的。 --- ### 选项分析： #### A. $ S $ 是 $ \sigma $ 的无偏估计量 我们知道，样本方差 $ S^2 $ 是总体方差 $ \sigma^2 $ 的无偏估计量，即： $$ E(S^2) = \sigma^2 $$ 但这里说的是 $ S $（样本标准差）是 $ \sigma $ 的无偏估计量，即： $$ E(S) = \sigma $$ **这个结论是不成立的**。实际上，样本标准差 $ S = \sqrt{S^2} $ 并不是 $ \sigma $ 的无偏估计量，因为平方根是非线性变换，期望不保持无偏性。 因此，**A 错误**。 --- #### B. $ S $ 与 $ \overline{X} $ 相互独立 我们知道，对于正态分布的样本，$ \overline{X} $ 和 $ S^2 $ 是相互独立的。这是正态分布的一个重要性质。 但题目中只说 $ X_i $ 是独立同分布的，**没有说明是正态分布**，因此不能保证 $ S $ 与 $ \overline{X} $ 相互独立。 所以，**B 错误**。 --- #### C. $ S $ 是 $ \sigma $ 的一致估计量 一致估计量的定义是：随着样本容量 $ n \to \infty $，估计量依概率收敛于真值。 我们知道： - $ S^2 \xrightarrow{P} \sigma^2 $，即样本方差是一致估计量； - 由于平方根函数是连续函数，因此： $$ S = \sqrt{S^2} \xrightarrow{P} \sqrt{\sigma^2} = \sigma $$ 所以，**C 正确**。 --- #### D. $ S $ 是 $ \sigma $ 的最大似然估计量 最大似然估计（MLE）是在给定分布下，使得似然函数最大的参数值。 对于正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，最大似然估计的方差是： $$ \hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $$ 而样本方差 $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $，比 MLE 多了一个 $ \frac{n}{n-1} $ 的因子。 因此，**S 不是 MLE 估计量**。 所以，**D 错误**。 --- ### ✅ 正确答案是：**C** --- ### 答案总结： - A. 错误（$ S $ 不是 $ \sigma $ 的无偏估计量）； - B. 错误（未说明正态分布，不能保证独立）； - C. **正确**（$ S $ 是 $ \sigma $ 的一致估计量）； - D. 错误（不是最大似然估计量）。 --- ### 最终答案： $$ \boxed{C} $$