设backsim N(3,4),试求 ⑴backsim N(3,4); ⑵backsim N(3,4). (已知backsim N(3,4)backsim N(3,4).)

本题主要考查正态分布的概率计算，解题的关键思路是利用正态分布的标准化公式将一般的正态分布转化为标准正态分布，再结合已知的标准正态分布函数值$\varPhi(x)$来计算相应的概率。

（1）求\\(P\{ 5\lt X\lt 9\}\)

已知随机变量$X$服从正态分布$N(3,2^{2})$，即$\mu = 3$，$\sigma = = 2$。
根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，将\和9转化为标准正态分布的形式：
$P\{ 5\lt X\lt 9\}=P(\frac{5 - 3}{2}\lt \frac{X - 3}{2}\lt \frac{9 - 3}{2})$
计算括号内的值：
$\frac{5 -3}{2}=\frac{2}{2}=1$，$\frac{9 - 3}{2}=\frac{6}{2}=3$
所以$P\{ 5\lt X\lt 9\}=P(1\lt \lt \frac{X - 3}{2}\lt 3)$
设$Z=\frac{X - 3}{标准标准正态分布\(N(0,1)$，则$P(1\lt Z\lt 3)=\varPhi(3)-\varPhi(1)$
已知$\varPhi(1)=0.8413$，$\varPhi(3)=0.9987$，代入可得：
$P(1\lt Z\lt 3)=0.9987 - 0.8413 = 0.1574$

（2）求$P(X\gt 7)$

同样根据正态分布的标准化公式，将$P(X\gt 7)$进行转化：
$P(X\gt 7)=P(\frac{X - 3}{2}\gt \frac{7 - 3}{2})$
计算$\frac{7 - 3}{2}=\frac{4}{2}=2$
所以$P(X\gt 7)=P(\frac{X - 3}{2}\gt 2)$
因为$P(Z\gt 2)=1 - P(Z\leqslant 2)$，设$Z=\frac{X - 3}{2}$服从标准正态分布$N(0,1)$，则\(2) 已知$\varPhi(2)=0.9772$，代入可得：
$P(X\gt 7)=1 - 0.9772 = 0.0228$