12.已知点P在直线 x+y=4 上,过点P作圆 :(x)^2+(y)^2=4 的两条切线,切点-|||-分别为A,B,点M在圆 :((x-4))^2+((y-5))^2=1 上,则点M到直线AB距-|||-离的最大值为 ()-|||-A.4 B.6 C. sqrt (10)-1 D. sqrt (13)-1

考查要点：本题综合考查几何中极线性质、点到直线的距离公式及最值问题。关键在于理解点P的极线AB的方程，并利用圆心到直线的距离求最大值。

解题思路：

1. 确定极线方程：点P在直线$x+y=4$上，过P作圆$O$的切线，切点A、B构成的直线AB是点P的极线，方程为$hx + ky = 4$（其中$P(h,k)$满足$h + k = 4$）。
2. 转化问题：点M在圆G上，求M到AB的最大距离。根据几何性质，最大距离为圆心G到AB的距离加上圆G的半径1。
3. 求最大值：将圆心G(4,5)到直线AB的距离表示为关于$h$的函数，通过求导或代数变形找到最大值。

步骤1：确定极线方程

设点$P(h,k)$在直线$x+y=4$上，则$h + k = 4$。根据极线性质，直线AB的方程为：
$hx + ky = 4$

步骤2：计算圆心G到AB的距离

圆心G(4,5)到直线$hx + ky = 4$的距离为：
$d = \frac{|4h + 5k - 4|}{\sqrt{h^2 + k^2}}$
代入$k = 4 - h$，得：
$d = \frac{|4h + 5(4 - h) - 4|}{\sqrt{h^2 + (4 - h)^2}} = \frac{|16 - h|}{\sqrt{2h^2 - 8h + 16}}$

步骤3：求距离的最大值

将$d^2$表示为：
$d^2 = \frac{(16 - h)^2}{2[(h - 2)^2 + 4]}$
通过求导或代数变形，可得当$h = \frac{12}{7}$时，$d$取得最大值$5$。此时，点M到AB的最大距离为：
$5 + 1 = 6$