为调查某5443户城镇居民服装消费情况，采用简单随机不重复抽样调查了36户进行调查，得到平均消费支出y=649.72元，s2=304803试根据此估计： （1）该地区居民服装消费支出总额，并给出置信水平为95%的置信区间。 （2）如果希望服装平均消费支出的相对误差限不超过5%，则样本量至少应为多少？

考查要点：本题涉及简单随机不重复抽样下的总体总量估计及样本量确定，需掌握以下核心知识点：

1. 总体总量估计：利用样本均值推算总体总量，并计算其置信区间；
2. 有限总体校正因子：不放回抽样中方差的调整；
3. 相对误差与样本量关系：根据相对误差要求确定最小样本量，需结合方差、置信水平等参数。

解题思路：

1. 总量估计：通过样本均值计算总体总量，结合有限总体校正因子计算标准误，构造置信区间；
2. 样本量确定：建立相对误差与样本量的关系式，代入已知参数求解最小样本量，注意有限总体的校正。

第（1）题

总体总量估计

总体总量估计量为：
$\hat{Y} = N \cdot \bar{y} = 5443 \times 649.72 = 3536425.96 \text{元}$

方差计算

样本均值方差（考虑有限总体校正）：
$v(\bar{y}) = \frac{1 - \frac{n}{N}}{n} \cdot s^2 = \frac{1 - \frac{36}{5443}}{36} \times 304803 \approx 841.695$
总体总量方差：
$v(\hat{Y}) = N^2 \cdot v(\bar{y}) = 5443^2 \times 841.695$

标准误与置信区间

标准误：
$SE(\hat{Y}) = \sqrt{v(\hat{Y})} = 5443 \times \sqrt{841.695} \approx 499188$
置信区间：
$\hat{Y} \pm t_{\alpha/2} \cdot SE(\hat{Y}) = 3536425.96 \pm 1.96 \times 499188 \approx (2558029, 4514823)$

第（2）题

相对误差公式

相对误差限要求：
$\frac{t \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{n}{N}}{n} \cdot s^2}}{\bar{y}} \leq r$
代入 $r = 5\%$，整理得：
$n \geq \frac{t^2 \cdot s^2}{r^2 \cdot \bar{y}^2} \cdot \frac{N}{N - 1}$

计算最小样本量

计算初始样本量 $n_0$：
$n_0 = \frac{1.96^2 \times 304803}{0.05^2 \times 649.72^2} \approx 1110$
考虑有限总体校正：
$n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}} \approx \frac{1110}{1 + \frac{1110}{5443}} \approx 922$