题目
为调查某5443户城镇居民服装消费情况，采用简单随机不重复抽样调查了36户进行调查，得到平均消费支出y=649.72元，s2=304803试根据此估计： （1）该地区居民服装消费支出总额，并给出置信水平为95%的置信区间。 （2）如果希望服装平均消费支出的相对误差限不超过5%，则样本量至少应为多少？
为调查某5443户城镇居民服装消费情况，采用简单随机不重复抽样调查了36户进行调查，得到平均消费支出y=649.72元，s2=304803试根据此估计： （1）该地区居民服装消费支出总额，并给出置信水平为95%的置信区间。 （2）如果希望服装平均消费支出的相对误差限不超过5%，则样本量至少应为多少？
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算该地区居民服装消费支出总额
- 总体户数 $N=5443$，样本户数 $n=36$，样本平均消费支出 $\overline{y}=649.72$ 元，样本方差 ${s}^{2}=304803$。
- 总体平均消费支出 $\overline{Y}=N\cdot \overline{y}=5443\cdot 649.72=3536425.96$ 元。
步骤 2：计算置信水平为95%的置信区间
- 置信水平为95%，对应的标准正态分布的临界值 $t=1.96$。
- 计算样本均值的标准误差 $SE(\overline{y})=\sqrt{\frac{1-f}{n}\cdot {s}^{2}}$，其中 $f=\frac{n}{N}=0.66\%$。
- $SE(\overline{y})=\sqrt{\frac{1-0.0066}{36}\cdot 304803}=\sqrt{8416.95}=91.74$ 元。
- 置信区间为 $\overline{Y}\pm t\cdot SE(\overline{y})=3536425.96\pm 1.96\cdot 91.74$，即 $(3536425.96-179.99, 3536425.96+179.99)=(3536245.97, 3536605.95)$ 元。
步骤 3：计算样本量至少应为多少
- 相对误差限不超过5%，即 $r\leqslant 5\%$。
- 样本量 $n=\frac{{n}_{0}}{1+\frac{{n}_{0}}{N}}$，其中 ${n}_{0}=\frac{{t}^{2}\cdot {s}^{2}}{{r}^{2}\cdot {\overline{y}}^{2}}$。
- ${n}_{0}=\frac{{1.96}^{2}\cdot 304803}{{0.05}^{2}\cdot {649.72}^{2}}=1110.69$，取整为1111户。
- $n=\frac{1111}{1+\frac{1111}{5443}}=922$ 户。
- 总体户数 $N=5443$，样本户数 $n=36$，样本平均消费支出 $\overline{y}=649.72$ 元，样本方差 ${s}^{2}=304803$。
- 总体平均消费支出 $\overline{Y}=N\cdot \overline{y}=5443\cdot 649.72=3536425.96$ 元。
步骤 2：计算置信水平为95%的置信区间
- 置信水平为95%，对应的标准正态分布的临界值 $t=1.96$。
- 计算样本均值的标准误差 $SE(\overline{y})=\sqrt{\frac{1-f}{n}\cdot {s}^{2}}$，其中 $f=\frac{n}{N}=0.66\%$。
- $SE(\overline{y})=\sqrt{\frac{1-0.0066}{36}\cdot 304803}=\sqrt{8416.95}=91.74$ 元。
- 置信区间为 $\overline{Y}\pm t\cdot SE(\overline{y})=3536425.96\pm 1.96\cdot 91.74$，即 $(3536425.96-179.99, 3536425.96+179.99)=(3536245.97, 3536605.95)$ 元。
步骤 3：计算样本量至少应为多少
- 相对误差限不超过5%，即 $r\leqslant 5\%$。
- 样本量 $n=\frac{{n}_{0}}{1+\frac{{n}_{0}}{N}}$，其中 ${n}_{0}=\frac{{t}^{2}\cdot {s}^{2}}{{r}^{2}\cdot {\overline{y}}^{2}}$。
- ${n}_{0}=\frac{{1.96}^{2}\cdot 304803}{{0.05}^{2}\cdot {649.72}^{2}}=1110.69$，取整为1111户。
- $n=\frac{1111}{1+\frac{1111}{5443}}=922$ 户。