题目
已知某直线的一般方程为 ) x-y+z=1 2x+y+z=4 .
已知某直线的一般方程为
，则下列结论正确的是( )
A. 该直线的对称式方程为
B. 该直线的对称式方程为
C. 该直线的参数方程为
D. 该直线的参数方程为
题目解答
答案
解：已知直线的一般方程为，
则该直线的方向向量为：
，
由，令
得：
，两式相加得：
，
则
，所以
，
由此可知直线过点
，
所以该直线的对称式方程为，故选项B正确；
令
，
则
，
，
，
所以直线的参数方程为，故选项C正确.
故答案为：BC.
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
已知直线的一般方程为$\left \{ \begin{matrix} x-y+z=1\\ 2x+y+z=4\end{matrix} \right.$，则该直线的方向向量为：
$-2\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}=(-2,1,3)$，
步骤 2：确定直线上的一个点
由$\left \{ \begin{matrix} x-y+z=1\\ 2x+y+z=4\end{matrix} \right.$，令0=x得：$\left \{ \begin{matrix} -y+z=1\\ y+z=4\end{matrix} \right.$，两式相加得：$\hat {y}=z\hat {b}$，
则$z=\dfrac {5}{2}$，所以$y=\dfrac {3}{2}$，
由此可知直线过点$(0,\dfrac {3}{2},\dfrac {5}{2})$，
步骤 3：写出直线的对称式方程
所以该直线的对称式方程为$\dfrac {x-0}{-2}=\dfrac {y-\dfrac {3}{2}}{1}=\dfrac {z-\dfrac {5}{2}}{3}$，故选项B正确；
步骤 4：写出直线的参数方程
令$\dfrac {x-0}{-2}=\dfrac {y-\dfrac {3}{2}}{1}=\dfrac {z-\dfrac {5}{2}}{3}=t$，
则x=-2t，$\dfrac {2}{8}+1=6$，$z=3t+\dfrac {5}{2}$，
所以直线的参数方程为，故选项C正确.
已知直线的一般方程为$\left \{ \begin{matrix} x-y+z=1\\ 2x+y+z=4\end{matrix} \right.$，则该直线的方向向量为：
$-2\overrightarrow {i}+\overrightarrow {j}+3\overrightarrow {k}=(-2,1,3)$，
步骤 2：确定直线上的一个点
由$\left \{ \begin{matrix} x-y+z=1\\ 2x+y+z=4\end{matrix} \right.$，令0=x得：$\left \{ \begin{matrix} -y+z=1\\ y+z=4\end{matrix} \right.$，两式相加得：$\hat {y}=z\hat {b}$，
则$z=\dfrac {5}{2}$，所以$y=\dfrac {3}{2}$，
由此可知直线过点$(0,\dfrac {3}{2},\dfrac {5}{2})$，
步骤 3：写出直线的对称式方程
所以该直线的对称式方程为$\dfrac {x-0}{-2}=\dfrac {y-\dfrac {3}{2}}{1}=\dfrac {z-\dfrac {5}{2}}{3}$，故选项B正确；
步骤 4：写出直线的参数方程
令$\dfrac {x-0}{-2}=\dfrac {y-\dfrac {3}{2}}{1}=\dfrac {z-\dfrac {5}{2}}{3}=t$，
则x=-2t，$\dfrac {2}{8}+1=6$，$z=3t+\dfrac {5}{2}$，
所以直线的参数方程为，故选项C正确.