注 类似地， 已知函数f(x,y)=}(x^2+y^2)cdot sin (1)/(xy),&xyneq 0,0,&xy=0,则在点(0,0)处 ()A. (partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)可微.B. (partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)不可微.C. (partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)可微.D. (partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)不可微.

考查要点：本题主要考查多元函数在某点处偏导数的连续性与可微性的判断，涉及偏导数的定义与计算、极限的存在性以及可微的充分条件。

解题核心思路：

1. 计算偏导数：分别求出当$xy \neq 0$和$xy = 0$时的偏导数$f_x$，特别注意在$(0,0)$处需用定义计算。
2. 判断偏导数连续性：通过沿不同路径趋近于$(0,0)$，观察偏导数的极限是否存在且等于$f_x(0,0)$。
3. 判断可微性：利用可微的定义，验证余项是否为高阶无穷小。

破题关键点：

• 路径依赖性：沿特定路径（如$y = kx$）趋近于$(0,0)$时，偏导数的极限是否存在。
• 有界性与极限：利用$\sin$函数的有界性，结合代数运算判断余项的极限。

计算偏导数$f_x(0,0)$

当$xy \neq 0$时，对$x$求导：
$f_x(x,y) = 2x \sin \frac{1}{xy} - \frac{x^2 + y^2}{x^2 y} \cos \frac{1}{xy}.$

当$xy = 0$时，特别地，在$(0,0)$处：
$f_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - 0}{x} = 0.$

判断$f_x$的连续性

沿路径$y = kx$趋近于$(0,0)$，计算：
$\lim_{x \to 0} f_x(x,kx) = \lim_{x \to 0} \left[ 2x \sin \frac{1}{kx^2} - \frac{1 + k^2}{kx} \cos \frac{1}{kx^2} \right].$

• 第一项$2x \sin \frac{1}{kx^2}$中，$x \to 0$且$\sin$有界，故极限为$0$。
• 第二项$-\frac{1 + k^2}{kx} \cos \frac{1}{kx^2}$中，$\cos$振荡且分母趋近于$0$，极限不存在。

结论：$f_x(x,y)$在$(0,0)$处不连续。

判断$f(x,y)$的可微性

计算余项：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2} \sin \frac{1}{xy}.$

• $\sin \frac{1}{xy}$有界，$\sqrt{x^2 + y^2} \to 0$，故极限为$0$。

结论：$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。