题目

(7)lim_(ntoinfty)(n)/(sqrt(n^2)+1)+n;

(7)$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}+n}$;

题目解答

答案

将分子和分母同时除以 $n$，得 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} \] 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，故 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] 答案：$\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是处理分式型极限的常用方法——分子分母同除以最高次项，以及利用无穷小量的性质简化表达式。

解题核心思路：
当分式中的分子和分母均为关于$n$的多项式或根式时，通常将分子和分母同时除以最高次项，将表达式转化为容易取极限的形式。本题中，分母中的$\sqrt{n^2+1}$可近似为$n$（当$n \to \infty$时），但需通过代数变形严格证明。

破题关键点：

  1. 分子分母同除以$n$，将分式转化为关于$\frac{1}{n^2}$的表达式。
  2. 利用$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$，简化根号内的部分，最终求得极限值。

步骤1：分子分母同除以$n$
将原式分子和分母同时除以$n$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n} + \frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1}.$

步骤2：处理根号内的无穷小量
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，因此：
$\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \to \sqrt{1 + 0} = 1.$

步骤3：代入极限值
将根号部分的极限代入原式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$