若X sim N(2, sigma^2)，且P(X < 0) = 0.3，则P(0 < X < 4) = ____
若$X \sim N(2, \sigma^2)$，且$P(X < 0) = 0.3$，则$P(0 < X < 4) = \_\_\_\_$
题目解答
答案
已知 $X \sim N(2, \sigma^2)$ 且 $P(X < 0) = 0.3$，由正态分布的对称性得 $P(X > 4) = P(X < 0) = 0.3$。
因此，
$P(0 < X < 4) = P(X < 4) - P(X \leq 0) = (1 - P(X \geq 4)) - P(X \leq 0) = (1 - 0.3) - 0.3 = 0.4$
或利用对称性：
$P(0 < X < 4) = P(X < 4) - P(X \leq 0) = (P(X < 2) + P(2 < X < 4)) - P(X \leq 0) = 0.5 + (0.5 - 0.3) - 0.3 = 0.4$
答案： $\boxed{0.4}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的对称性及其概率计算。
解题核心思路：利用正态分布关于均值对称的性质，将已知概率转化为对称区域的概率，再通过概率的加减运算求解目标区间概率。
破题关键点：
- 对称性应用：正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$关于$\mu$对称，即$P(X < \mu - a) = P(X > \mu + a)$。
- 概率分割：将目标区间$P(0 < X < 4)$拆分为$P(X < 4) - P(X \leq 0)$，结合对称性简化计算。
步骤1：利用对称性确定$P(X > 4)$
已知$X \sim N(2, \sigma^2)$，均值$\mu = 2$。根据正态分布的对称性，距离$\mu$相等的两侧区间概率相等。
- $0$距离$\mu$为$2$个单位，对应右侧对称点为$4$，因此：
$P(X < 0) = P(X > 4) = 0.3$
步骤2：计算$P(X < 4)$
总概率为$1$，因此：
$P(X < 4) = 1 - P(X \geq 4) = 1 - 0.3 = 0.7$
步骤3：计算目标区间概率
目标区间$P(0 < X < 4)$可表示为：
$P(0 < X < 4) = P(X < 4) - P(X \leq 0) = 0.7 - 0.3 = 0.4$