题目

①,已知健康男童的体重近似服从正态分布,某年某地150名12岁健康男童体重的均-|||-36.3kg,标准差 =6.19kg, 试估计:①该地12岁健康男童体重在50k g以上者占该地12岁健康男-|||-数的百分比;②该地12岁健康男童体重在 sim 40kg 者占该地12岁健康男童总数的百分比-|||-80%的12岁健康男童体重集中在哪个范围;④估计该地12岁健康男童体重的95%参考值范围-|||-2.某地200例正常成年1面机△且/

题目解答

答案

解析

本题主要考察正态分布在实际问题中的应用，包括计算特定体重范围的百分比、集中范围及参考值范围，核心是利用正态分布的性质和标准正态分布表（Z表）进行转化与计算。

题目①：体重在50kg以上者的百分比

已知体重$X \sim N(\mu=36.3, \sigma^2=6.19^2)$，需计算$P(X>50)$。

  1. 标准化：计算Z分数
    $Z = \frac{50 - 36.3}{6.19} \approx \frac{13.7}{6.19} \approx 2.213$
  2. 查Z表：$P(Z \leq 2.21) \approx 0.9864$，$P(Z \leq 2.22) \approx 0.9868$，线性插值得$P(Z \leq 2.213) \approx 0.9866$。
  3. 计算百分比：
    $P(X>50) = 1 - P(Z \leq 2.213) \approx 1 - 0.9866 = 0.0134 \approx 1.34\%$
    （答案中“小人9%”可能为笔误，正确约1.34%）

题目②：体重在30~40kg者的百分比

需计算$P(30 < X < 40)$。

  1. 标准化：
    • 下限：$Z_1 = \frac{30 - 36.3}{6.19} \approx -1.018$
    • 上限：$Z_2 = \frac{40 - 36.3}{6.19} \approx 0.598$
  2. 查Z表：
    • $P(Z \leq -1.02) \approx 0.1539$，$P(Z \leq 0.60) \approx 0.7257$
  3. 计算概率：
    $P(30 < X < 40) = P(Z \leq 0.598) - P(Z \leq -1.018) \approx 0.7257 - 0.1539 = 0.5718 = 57.18\%$

题目③：80%男童体重集中的范围

正态分布中，80%集中范围对应中间80%，即两端各10%。需找到$Z_{\alpha/2}$使$P(-Z < X < Z) = 0.8$，则$P(Z > Z_{\alpha/2}) = 0.1$，查Z表得$Z_{\alpha/2} \approx 1.28$。

  1. 计算区间：
    $下限 = 36.3 - 1.28 \times 6.19 \approx 36.3 - 7.92 = 28.38$
    $上限 = 36.3 + 1.28 \times 6.19 \approx 36.3 + 7.92 = 44.22$
    故范围为$[28.38, 44.22]$。

题目④：95%参考值范围

参考值范围通常用95%双侧界值，对应$Z=1.96$：
$下限 = 36.3 - 1.96 \times 6.19 \approx 36.3 - 12.13 = 24.17$
$上限 = 36.3 + 1.96 \times 6.19 \approx 36.3 + 12.13 = 48.43$
故范围为$[24.17, 48.43]$。