2.方程 (e)^x=(x)^2-x+1 有三个实根,则a的取值范围为 () .-|||-A. lt alt dfrac (3)({e)^2} B. dfrac (1)(e)lt alt dfrac (3)({e)^2}-|||-C. lt dfrac (1)({e)^2} D. gt dfrac (3)({e)^2}

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数图像，确定方程实根个数的问题。关键在于将方程转化为函数零点问题，通过分析函数的极值点和单调性，结合极限行为确定参数范围。

解题思路：

1. 等价变形：将原方程转化为函数 $f(x) = (x^2 - x + 1)e^{-x} - a$，研究其零点个数。
2. 导数分析：求导确定函数的单调区间和极值点，计算极值处的函数值。
3. 极限分析：分析 $x \to \pm\infty$ 时函数的趋势。
4. 零点条件：结合极值点的函数值和极限，确定方程有三个实根的条件。

破题关键：

• 极值点的符号：极小值 $f(1) < 0$，极大值 $f(2) > 0$。
• 极限条件：当 $x \to +\infty$ 时 $f(x) \to -a < 0$。

函数变形与导数计算

原方程 $a e^x = x^2 - x + 1$ 变形为：
$f(x) = (x^2 - x + 1)e^{-x} - a = 0$
求导得：
$f'(x) = -(x-1)(x-2)e^{-x}$

单调性与极值分析

• 当 $x < 1$：$f'(x) < 0$，函数单调递减。
• 当 $1 < x < 2$：$f'(x) > 0$，函数单调递增。
• 当 $x > 2$：$f'(x) < 0$，函数单调递减。

极值点：

• 极小值点 $x = 1$：$f(1) = \dfrac{1}{e} - a$
• 极大值点 $x = 2$：$f(2) = \dfrac{3}{e^2} - a$

极限分析

• 当 $x \to -\infty$：$f(x) \to +\infty$
• 当 $x \to +\infty$：$f(x) \to -a$

零点存在条件

方程有三个实根需满足：

1. 极小值 $f(1) < 0$：$\dfrac{1}{e} - a < 0 \Rightarrow a > \dfrac{1}{e}$
2. 极大值 $f(2) > 0$：$\dfrac{3}{e^2} - a > 0 \Rightarrow a < \dfrac{3}{e^2}$
3. 极限 $-a < 0$：$a > 0$（已由 $a > \dfrac{1}{e}$ 包含）

综上，$a$ 的取值范围为：
$\dfrac{1}{e} < a < \dfrac{3}{e^2}$