若X的概率密度函数为varphi(x)=(1)/(sqrt(pi))e^-x^2+4x-4,则有()。A. Xsim N(0,1)B. Xsim N(2,((1)/(sqrt(2)))^2)C. Xsim N(4,((1)/(2))^2)D. Xsim N(2,1^2)

考查要点：本题主要考查正态分布的概率密度函数形式及其参数的识别能力，需要将给定的指数函数整理为标准正态分布的形式，从而确定均值和方差。

解题核心思路：

1. 整理指数部分：将题目中的指数项 $-x^2 + 4x -4$ 配方，转化为 $-(x-\mu)^2$ 的形式，确定均值 $\mu$。
2. 对比正态分布密度函数：将题目中的系数和指数部分与标准正态分布的密度函数形式对比，求出标准差 $\sigma$。
3. 匹配选项：根据计算出的 $\mu$ 和 $\sigma^2$，选择对应的正态分布参数选项。

破题关键点：

• 配方是确定均值 $\mu$ 的关键步骤。
• 系数对比需注意正态分布密度函数的标准化条件，从而求出方差 $\sigma^2$。

步骤1：整理指数部分
题目中的指数项为 $-x^2 + 4x -4$，配方得：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x -4 &= -(x^2 - 4x + 4) \\&= -(x-2)^2.\end{aligned}$
因此，概率密度函数可写为：
$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(x-2)^2}.$

步骤2：对比正态分布密度函数
标准正态分布的密度函数为：
$\varphi(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$
将题目中的函数与标准形式对比：

1. 指数部分对比：
   $-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} = -(x-2)^2 \implies \frac{1}{2\sigma^2} = 1 \implies \sigma^2 = \frac{1}{2}.$
2. 系数对比：
   $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \implies \sigma \sqrt{2\pi} = \sqrt{\pi} \implies \sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

步骤3：确定参数
由上述计算得：

• 均值 $\mu = 2$，
• 方差 $\sigma^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2$。

因此，$X \sim N\left( 2, \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \right)$，对应选项 B。