题目
某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表: 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学平均名次 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3 物理平均名次 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3 42.7 学生序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学平均名次 78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7 86.7 物理平均名次 49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7 99.0 学校规定:平均名次小于或等于40.0者为优秀,大于40.0者为不优秀.(Ⅰ)对名次优秀赋分2,对名次不优秀赋分1.从这20名学生中随机抽取2名学生,若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和,求ξ的分布列;(Ⅱ)根据这次抽查数据,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关? 数学优秀 数学不优秀 物理优秀 物理不优秀 附:K2=(n(ad-bc)^2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),其中n=a+b+c+d P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:
学校规定:平均名次小于或等于40.0者为优秀,大于40.0者为不优秀.
(Ⅰ)对名次优秀赋分2,对名次不优秀赋分1.从这20名学生中随机抽取2名学生,若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和,求ξ的分布列;
(Ⅱ)根据这次抽查数据,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关?
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
| 学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数学平均名次 | 1.3 | 12.3 | 25.7 | 36.7 | 50.3 | 67.7 | 49.0 | 52.0 | 40.0 | 34.3 |
| 物理平均名次 | 2.3 | 9.7 | 31.0 | 22.3 | 40.0 | 58.0 | 39.0 | 60.7 | 63.3 | 42.7 |
| 学生序号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 数学平均名次 | 78.3 | 50.0 | 65.7 | 66.3 | 68.0 | 95.0 | 90.7 | 87.7 | 103.7 | 86.7 |
| 物理平均名次 | 49.7 | 46.7 | 83.3 | 59.7 | 50.0 | 101.3 | 76.7 | 86.0 | 99.7 | 99.0 |
(Ⅰ)对名次优秀赋分2,对名次不优秀赋分1.从这20名学生中随机抽取2名学生,若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和,求ξ的分布列;
(Ⅱ)根据这次抽查数据,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关?
| 数学优秀 | 数学不优秀 | |
| 物理优秀 | ||
| 物理不优秀 |
| P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
题目解答
答案
解:(Ⅰ)两科都优秀者有4人,一科优秀者有4人,两科都不优秀的有12人,
ξ可能取值为4,5,6,7,8,
P(ξ=4)=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$,P(ξ=5)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$,
P(ξ=6)=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$,P(ξ=7)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$,P(ξ=8)=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$,
ξ的分布列为:
(Ⅱ)由题意可得2×2列联表如下,
K2=$\frac{20×(4×12-2×2)^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488>5.024,
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关.
ξ可能取值为4,5,6,7,8,
P(ξ=4)=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$,P(ξ=5)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$,
P(ξ=6)=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$,P(ξ=7)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$,P(ξ=8)=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$,
ξ的分布列为:
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | $\frac{33}{95}$ | $\frac{24}{95}$ | $\frac{27}{95}$ | $\frac{8}{95}$ | $\frac{3}{95}$ |
| 数学优秀 | 数学不优秀 | 合计 | |
| 物理优秀 | 4 | 2 | 6 |
| 物理不优秀 | 2 | 12 | 14 |
| 合计 | 6 | 14 | 20 |
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关.
解析
步骤 1:确定ξ的可能取值
根据题目条件,ξ的可能取值为4,5,6,7,8,因为每个学生两科名次赋分的和最小为2+2=4,最大为1+1=2,所以ξ的可能取值为4,5,6,7,8。
步骤 2:计算ξ的分布列
根据题目条件,两科都优秀者有4人,一科优秀者有4人,两科都不优秀的有12人。ξ可能取值为4,5,6,7,8,计算每个ξ取值的概率。
P(ξ=4)=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$,P(ξ=5)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$,
P(ξ=6)=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$,P(ξ=7)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$,P(ξ=8)=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$。
步骤 3:计算K^{2}值
根据题目条件,计算K^{2}值,判断物理成绩与数学成绩是否有关。
K^{2}=$\frac{20×(4×12-2×2)^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488>5.024,
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关。
根据题目条件,ξ的可能取值为4,5,6,7,8,因为每个学生两科名次赋分的和最小为2+2=4,最大为1+1=2,所以ξ的可能取值为4,5,6,7,8。
步骤 2:计算ξ的分布列
根据题目条件,两科都优秀者有4人,一科优秀者有4人,两科都不优秀的有12人。ξ可能取值为4,5,6,7,8,计算每个ξ取值的概率。
P(ξ=4)=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$,P(ξ=5)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$,
P(ξ=6)=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$,P(ξ=7)=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$,P(ξ=8)=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$。
步骤 3:计算K^{2}值
根据题目条件,计算K^{2}值,判断物理成绩与数学成绩是否有关。
K^{2}=$\frac{20×(4×12-2×2)^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488>5.024,
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关。