7.设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区-|||-间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则降价处-|||-理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商-|||-品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.

步骤 1：定义利润函数
设进货量为a，则利润为
\[ g(X)= \left \{ \begin{matrix} 500x-100(a-x),10\leqslant x\leqslant a\\ 500a+300(x-a),a\lt x\leqslant 30\end{matrix} \right. \]
\[ = \left \{ \begin{matrix} 600x-100a,\quad 10\leqslant x\leqslant a,\\ 300x+200a,\quad a\lt x\leqslant 30.\end{matrix} \right. \]

步骤 2：计算期望利润
由于X服从区间(10,30)上的均匀分布，其概率密度函数为
\[ f(x) = \frac{1}{30-10} = \frac{1}{20} \]
因此，平均利润为
\[ E(g(x)) = \int_{10}^{a} (600x-100a) \frac{1}{20} dx + \int_{a}^{30} (300x+200a) \frac{1}{20} dx \]
\[ = \frac{1}{20} \int_{10}^{a} (600x-100a) dx + \frac{1}{20} \int_{a}^{30} (300x+200a) dx \]
\[ = \frac{1}{20} \left[ 300x^2 - 100ax \right]_{10}^{a} + \frac{1}{20} \left[ 150x^2 + 200ax \right]_{a}^{30} \]
\[ = \frac{1}{20} \left[ 300a^2 - 100a^2 - 30000 + 1000a \right] + \frac{1}{20} \left[ 135000 + 6000a - 150a^2 - 200a^2 \right] \]
\[ = \frac{1}{20} \left[ 200a^2 + 1000a - 30000 \right] + \frac{1}{20} \left[ 135000 + 6000a - 350a^2 \right] \]
\[ = -7.5a^2 + 350a + 5250 \]

步骤 3：求解不等式
按照题意要求有
\[ -7.5a^2 + 350a + 5250 \geqslant 9280 \]
\[ -7.5a^2 + 350a - 4030 \geqslant 0 \]
解得
\[ 20\frac{2}{3} \leqslant a \leqslant 26 \]
因此最少进货为21单位。