题目
4.航空公司为了解某一天旅客携带行李的平均重量。随机选择了25位乘客,称重了他们的行李后得知平均重量为18千克,已知旅客携带行李的重量X服从正态分布.(1).求总体均值的置信度为0.95的置信区间；(2)根据以往数据，旅客携带行李的重量服从正态分布,今天旅客携带行李的平均重量与以往相比有无显著变化? (取显著性水平)
4.航空公司为了解某一天旅客携带行李的平均重量。随机选择了25位乘客,称重了他们的行李后得知平均重量为18千克,已知旅客携带行李的重量X服从正态分布
.
(1).求总体均值
的置信度为0.95的置信区间；
(2)根据以往数据，旅客携带行李的重量
服从正态分布
,今天旅客携带行李的平均重量与以往相比有无显著变化? (取显著性水平
)
题目解答
答案
（1）已知
的单个正态总体置信区间的估计，用
估计法：
查表得
即总体均值的置信度为
的置信区间为
；
（2）由题：
作出假设：
检验统计量
双侧检验，查表得
确定拒绝域：
由题
即值未落入拒绝域中，不能拒绝原假设，
成立
综上，可认为今天旅客携带行李的平均重量与以往相比无显著变化。
解析
步骤 1：求总体均值的置信度为0.95的置信区间
已知总体服从正态分布$N(\mu, 2^2)$，样本容量$n=25$，样本均值$\overline{x}=18$，总体标准差$\sigma=2$。根据中心极限定理，样本均值$\overline{x}$的分布近似为$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。置信度为0.95的置信区间为$[\overline{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$，其中$z_{1-\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的分位数，$\alpha=0.05$，$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。
步骤 2：计算置信区间
将已知数据代入公式，得到置信区间为$[18 - 1.96\frac{2}{\sqrt{25}}, 18 + 1.96\frac{2}{\sqrt{25}}]$，即$[17.216, 18.784]$。
步骤 3：检验今天旅客携带行李的平均重量与以往相比有无显著变化
作出假设：$H_0: \mu = 17.6$，$H_1: \mu \neq 17.6$。检验统计量$z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，双侧检验，查表得$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。确定拒绝域：$\{ |Z| \geqslant 1.96 \}$。由题$z=\frac{18-17.6}{\frac{2}{\sqrt{25}}}=1$，即值未落入拒绝域中，不能拒绝原假设，$H_0$成立。
已知总体服从正态分布$N(\mu, 2^2)$，样本容量$n=25$，样本均值$\overline{x}=18$，总体标准差$\sigma=2$。根据中心极限定理，样本均值$\overline{x}$的分布近似为$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。置信度为0.95的置信区间为$[\overline{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$，其中$z_{1-\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的分位数，$\alpha=0.05$，$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。
步骤 2：计算置信区间
将已知数据代入公式，得到置信区间为$[18 - 1.96\frac{2}{\sqrt{25}}, 18 + 1.96\frac{2}{\sqrt{25}}]$，即$[17.216, 18.784]$。
步骤 3：检验今天旅客携带行李的平均重量与以往相比有无显著变化
作出假设：$H_0: \mu = 17.6$，$H_1: \mu \neq 17.6$。检验统计量$z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，双侧检验，查表得$z_{1-\frac{\alpha}{2}}=1.96$。确定拒绝域：$\{ |Z| \geqslant 1.96 \}$。由题$z=\frac{18-17.6}{\frac{2}{\sqrt{25}}}=1$，即值未落入拒绝域中，不能拒绝原假设，$H_0$成立。