题目
设X_(1),X_(2),... X_(n)是一组独立的且均服从参数lambda=0.001的指数分布，当n=10000时，据中心极限定理知，可近似的认为sum_(i=1)^nX_(i)sim N(10^7,10^10)
设$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$是一组独立的且均服从参数$\lambda=0.001$的指数分布，当n=10000时，据中心极限定理知，可近似的认为$\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim N(10^{7},10^{10})$
题目解答
答案
为了使用中心极限定理解决这个问题，我们需要理解指数分布的性质以及它们如何在求和时表现。让我们一步步来分析。
1. **指数分布的性质:**
- 指数分布的均值为 $ \mu = \frac{1}{\lambda} $。
- 指数分布的方差为 $ \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} $。
2. **给定的参数:**
- 参数 $ \lambda = 0.001 $。
- 样本数量 $ n = 10000 $。
3. **一个指数随机变量的均值和方差:**
- 均值 $ \mu = \frac{1}{0.001} = 1000 $。
- 方差 $ \sigma^2 = \frac{1}{(0.001)^2} = 10^6 $。
4. **独立指数随机变量之和的均值和方差:**
- $ n $个独立随机变量之和的均值是它们各自均值的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的均值为 $ n \mu = 10000 \times 1000 = 10^7 $。
- $ n $个独立随机变量之和的方差是它们各自方差的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的方差为 $ n \sigma^2 = 10000 \times 10^6 = 10^{10} $。
5. **应用中心极限定理:**
- 中心极限定理表明，大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布。
- 因此，对于 $ n = 10000 $，$ \sum_{i=1}^n X_i $近似服从均值为 $ 10^7 $和方差为 $ 10^{10} $的正态分布。
所以，根据中心极限定理，我们有:
\[ \sum_{i=1}^n X_i \sim N(10^7, 10^{10}) \]
最终答案是:
\[ \boxed{N(10^7, 10^{10})} \]
解析
步骤 1：理解指数分布的性质
- 指数分布的均值为 $ \mu = \frac{1}{\lambda} $。
- 指数分布的方差为 $ \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} $。
步骤 2：计算单个指数随机变量的均值和方差
- 参数 $ \lambda = 0.001 $。
- 均值 $ \mu = \frac{1}{0.001} = 1000 $。
- 方差 $ \sigma^2 = \frac{1}{(0.001)^2} = 10^6 $。
步骤 3：计算独立指数随机变量之和的均值和方差
- $ n $个独立随机变量之和的均值是它们各自均值的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的均值为 $ n \mu = 10000 \times 1000 = 10^7 $。
- $ n $个独立随机变量之和的方差是它们各自方差的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的方差为 $ n \sigma^2 = 10000 \times 10^6 = 10^{10} $。
步骤 4：应用中心极限定理
- 中心极限定理表明，大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布。
- 因此，对于 $ n = 10000 $，$ \sum_{i=1}^n X_i $近似服从均值为 $ 10^7 $和方差为 $ 10^{10} $的正态分布。
- 指数分布的均值为 $ \mu = \frac{1}{\lambda} $。
- 指数分布的方差为 $ \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} $。
步骤 2：计算单个指数随机变量的均值和方差
- 参数 $ \lambda = 0.001 $。
- 均值 $ \mu = \frac{1}{0.001} = 1000 $。
- 方差 $ \sigma^2 = \frac{1}{(0.001)^2} = 10^6 $。
步骤 3：计算独立指数随机变量之和的均值和方差
- $ n $个独立随机变量之和的均值是它们各自均值的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的均值为 $ n \mu = 10000 \times 1000 = 10^7 $。
- $ n $个独立随机变量之和的方差是它们各自方差的和。因此，$ \sum_{i=1}^n X_i $的方差为 $ n \sigma^2 = 10000 \times 10^6 = 10^{10} $。
步骤 4：应用中心极限定理
- 中心极限定理表明，大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布。
- 因此，对于 $ n = 10000 $，$ \sum_{i=1}^n X_i $近似服从均值为 $ 10^7 $和方差为 $ 10^{10} $的正态分布。