设随机变量 sim t(n), 求证 ^2sim F(1,n).

考查要点：本题主要考查对t分布和F分布定义的理解，以及如何通过变量变换推导分布关系。

解题核心思路：

1. 利用t分布的定义，将随机变量$X$表示为标准正态变量与卡方变量的组合形式。
2. 平方后构造F分布的结构，即分子为卡方变量除以自由度，分母为另一卡方变量除以自由度的比值。
3. 验证独立性，确保分子和分母对应的变量相互独立。

破题关键点：

• 明确$t(n)$分布的表达式中涉及的变量独立性。
• 识别平方后的表达式符合$F(1,n)$分布的定义形式。

步骤1：写出t分布的定义形式
由题意，$X \sim t(n)$可表示为：
$X = \dfrac{Y_1}{\sqrt{Y_2 / n}}$
其中，$Y_1 \sim N(0,1)$，$Y_2 \sim \chi^2(n)$，且$Y_1$与$Y_2$独立。

步骤2：对$X$平方并变形
计算$X^2$：
$X^2 = \left( \dfrac{Y_1}{\sqrt{Y_2 / n}} \right)^2 = \dfrac{Y_1^2}{Y_2 / n}$

步骤3：分析分子和分母的分布

• 分子部分：$Y_1^2 \sim \chi^2(1)$（标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布）。
• 分母部分：$Y_2 / n$是自由度为$n$的卡方变量除以自由度。

步骤4：构造F分布的形式
根据$F$分布的定义，若
$F = \dfrac{U/m}{V/n}$
其中$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$且独立，则$F \sim F(m,n)$。
将$X^2$与上述形式对比：
$X^2 = \dfrac{Y_1^2 / 1}{Y_2 / n}$
此时，分子自由度$m=1$，分母自由度$n=n$，且$Y_1^2$与$Y_2$独立。因此，$X^2 \sim F(1,n)$。