题目
某厂生产的钢琴中有70%可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80%可以出厂,20%被认定为不合格不能出厂,现该厂生产了n(n≥2)架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求:(1)任意一架钢琴能出厂的概率p1;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率p2。
某厂生产的钢琴中有70%可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80%可以出厂,20%被认定为不合格不能出厂,现该厂生产了n(n≥2)架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求:(1)任意一架钢琴能出厂的概率p1;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率p2。
题目解答
答案
设事件C表示“钢琴出厂”，A表示“钢琴直接出厂”，B表示“钢琴经调试后出厂”。
解析
步骤 1：定义事件
设事件C表示“钢琴出厂”，A表示“钢琴直接出厂”，B表示“钢琴经调试后出厂”。
步骤 2：计算任意一架钢琴能出厂的概率
根据题意，钢琴出厂的概率可以分为两部分：直接出厂的概率和调试后出厂的概率。直接出厂的概率为70%，即0.7。剩下的30%的钢琴需要调试，调试后出厂的概率为80%，即0.8。因此，任意一架钢琴能出厂的概率为直接出厂的概率加上调试后出厂的概率，即：
\[ P_1 = P(C) = P(A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.7 + 0.3 \times 0.8 = 0.94 \]
步骤 3：计算恰有两架钢琴不能出厂的概率
由步骤2可知，任意一架钢琴不能出厂的概率为1减去能出厂的概率，即：
\[ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.94 = 0.06 \]
恰有两架钢琴不能出厂的概率可以看作是从n架钢琴中选择2架不能出厂，其余n-2架钢琴能出厂的概率，即：
\[ P_2 = C_n^2 (0.06)^2 (0.94)^{n-2} \]
设事件C表示“钢琴出厂”，A表示“钢琴直接出厂”，B表示“钢琴经调试后出厂”。
步骤 2：计算任意一架钢琴能出厂的概率
根据题意，钢琴出厂的概率可以分为两部分：直接出厂的概率和调试后出厂的概率。直接出厂的概率为70%，即0.7。剩下的30%的钢琴需要调试，调试后出厂的概率为80%，即0.8。因此，任意一架钢琴能出厂的概率为直接出厂的概率加上调试后出厂的概率，即：
\[ P_1 = P(C) = P(A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.7 + 0.3 \times 0.8 = 0.94 \]
步骤 3：计算恰有两架钢琴不能出厂的概率
由步骤2可知，任意一架钢琴不能出厂的概率为1减去能出厂的概率，即：
\[ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.94 = 0.06 \]
恰有两架钢琴不能出厂的概率可以看作是从n架钢琴中选择2架不能出厂，其余n-2架钢琴能出厂的概率，即：
\[ P_2 = C_n^2 (0.06)^2 (0.94)^{n-2} \]