3. (5.0分) 曲线y=cos x(-(pi)/(2)le xle (pi)/(2))与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为 （）A. (pi)/(2)B. πC. (pi^2)/(2)D. pi^2

本题考查利用定积分求旋转体的体积。解题思路是先明确旋转体体积的计算公式，再根据给定的曲线方程和积分区间，代入公式进行计算。

对于曲线$y = f(x)$在区间$[a,b]$上绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积$V$，其计算公式为$V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx$。

在本题中，曲线方程为$y = \cos x$，积分区间为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，将其代入上述公式可得：

$V=\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}xdx$

根据三角函数的二倍角公式$\cos^{2}x=\frac{1 + \cos2x}{2}$，对上式进行化简：

$V=\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 + \cos2x}{2}dx$

根据定积分的性质$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：

$V=\frac{\pi}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1 + \cos2x)dx=\frac{\pi}{2}(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx)$

分别计算两个定积分：

• 对于$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}1dx=b - a$，可得$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx=\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$。
• 对于$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx$，令$u = 2x$，则$du = 2dx$，当$x = -\frac{\pi}{2}$时，$u = - \pi$；当$x = \frac{\pi}{2}$时，$u = \pi$。那么$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos udu$。
  因为$\cos u$是偶函数，根据偶函数在对称区间上的定积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$（$f(x)$为偶函数），可得$\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos udu=\int_{0}^{\pi}\cos udu$。
  又因为$\int\cos udu=\sin u + C$，所以$\int_{0}^{\pi}\cos udu=\sin u\big|_{0}^{\pi}=\sin\pi - \sin0 = 0$。

将上述结果代入$V=\frac{\pi}{2}(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx)$可得：

$V=\frac{\pi}{2}(\pi + 0)=\frac{\pi^{2}}{2}$