已知随机变量 X sim B(100,0.2)，Phi(x) 为标准正态分布的分布函数，应用中心极限定理可得 P16 leq X leq 24 approx （）A. 2Phi(2.5)-1B. 2Phi(3)-1C. 2Phi(1)-1D. 2Phi(2)-1

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似（中心极限定理的应用）以及标准正态分布函数Φ(x)的性质。

解题核心思路：

1. 确定二项分布的均值μ和方差σ²，并计算标准差σ；
2. 将二项分布近似为正态分布，利用中心极限定理；
3. 标准化处理，将原概率转化为标准正态分布的概率；
4. 利用Φ(x)的对称性简化表达式，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确计算μ=np=20，σ=4；
• 将X标准化为Z=(X−μ)/σ；
• 将区间概率转化为Φ(1)−Φ(−1)，并利用Φ(−x)=1−Φ(x)简化。

步骤1：计算二项分布的参数

• 均值：$\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$；
• 方差：$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$；
• 标准差：$\sigma = \sqrt{16} = 4$。

步骤2：标准化处理

将X标准化为标准正态变量Z：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 20}{4}$

步骤3：转化概率区间

原概率$P\{16 \leq X \leq 24\}$转化为Z的范围：

• 当$X=16$时，$Z = \frac{16-20}{4} = -1$；
• 当$X=24$时，$Z = \frac{24-20}{4} = 1$；
  因此，概率变为：
  $P\{-1 \leq Z \leq 1\}$

步骤4：利用Φ(x)的性质计算

根据标准正态分布函数Φ(x)：
$P\{-1 \leq Z \leq 1\} = \Phi(1) - \Phi(-1)$
由于Φ(-x) = 1 - Φ(x)，代入得：
$\Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$