△1,设随机变量X满足 ^3sim N((1,7)^2) ,记标准正态分布函数为ϕ(x),则-|||- 1lt Xlt 2 的值为 ()-|||-A. (2)-(1) B. Phi (sqrt [3](2))-(1) C. (1)-0.5 D. Phi (sqrt [3](3))-(sqrt [3](2))

考查要点：本题主要考查正态分布的标准化变换及概率计算，需要将原变量转换为标准正态变量，并利用标准正态分布函数Φ(x)求解概率。

解题核心思路：

1. 变量转换：题目中给出X³服从正态分布N(1, 7²)，需将其标准化为标准正态变量Y。
2. 范围转换：将X的范围1 < X < 2转换为X³的范围，再进一步转换为标准正态变量Y的范围。
3. 概率计算：利用标准正态分布函数Φ(x)计算对应区间的概率。

破题关键点：

• 正确标准化：通过公式$Y = \frac{X^3 - 1}{7}$将X³标准化为标准正态变量。
• 区间对应关系：明确X的取值范围与X³、Y的取值范围之间的对应关系。
• Φ(0)的值：注意Φ(0) = 0.5，简化最终表达式。

步骤1：标准化变换

已知$X^3 \sim N(1, 7^2)$，定义标准正态变量：
$Y = \frac{X^3 - 1}{7} \sim N(0, 1)$

步骤2：转换概率范围

求$P\{1 < X < 2\}$时，需将X的范围转换为$X^3$的范围：
$1 < X < 2 \implies 1^3 < X^3 < 2^3 \implies 1 < X^3 < 8$

步骤3：标准化后的概率表达

进一步将$X^3$的范围转换为Y的范围：
$P\{1 < X^3 < 8\} = P\left\{ \frac{1 - 1}{7} < Y < \frac{8 - 1}{7} \right\} = P\{0 < Y < 1\}$

步骤4：利用标准正态分布函数

根据标准正态分布函数Φ(x)：
$P\{0 < Y < 1\} = \Phi(1) - \Phi(0)$
由于$\Phi(0) = 0.5$，最终结果为：
$\Phi(1) - 0.5$