题目
设一本 400 页 的书中每一页上印刷错误的个数服从参数 = 0.16 的泊松分布，且各页上印刷错误的个数是相互独立的 ，试用中心极限定理求这本书印刷错误的总数不多于 80 个 的概率。
设一本 400 页 的书中每一页上印刷错误的个数服从参数
= 0.16 的泊松分布，且各页上印刷错误的个数是相互独立的 ，试用中心极限定理求这本书印刷错误的总数不多于 80 个 的概率。
题目解答
答案
设第i页的印刷错误个数为
则
且
相互独立，故所求概率为：
,查表得
解析
步骤 1：定义随机变量
设第i页的印刷错误个数为${X}_{i}(i=1,2\cdots ,400)$，则${X}_{i}$服从参数为0.16的泊松分布，即${X}_{i} \sim Poisson(0.16)$。
步骤 2：计算期望和方差
由于${X}_{i}$服从泊松分布，其期望和方差均为参数值，即$E({X}_{i}) = Var({X}_{i}) = 0.16$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于各页上印刷错误的个数是相互独立的，根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量之和的分布近似于正态分布。因此，这本书印刷错误的总数$S = \sum _{i=1}^{400}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(400 \times 0.16, 400 \times 0.16)$，即$N(64, 64)$。
步骤 4：计算概率
所求概率为这本书印刷错误的总数不多于80个的概率，即$P(S \leqslant 80)$。将$S$标准化，得到$P(\frac{S - 64}{\sqrt{64}} \leqslant \frac{80 - 64}{\sqrt{64}})$，即$P(Z \leqslant 2)$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表，得到$P(Z \leqslant 2) = 0.9773$。
设第i页的印刷错误个数为${X}_{i}(i=1,2\cdots ,400)$，则${X}_{i}$服从参数为0.16的泊松分布，即${X}_{i} \sim Poisson(0.16)$。
步骤 2：计算期望和方差
由于${X}_{i}$服从泊松分布，其期望和方差均为参数值，即$E({X}_{i}) = Var({X}_{i}) = 0.16$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于各页上印刷错误的个数是相互独立的，根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量之和的分布近似于正态分布。因此，这本书印刷错误的总数$S = \sum _{i=1}^{400}{X}_{i}$近似服从正态分布$N(400 \times 0.16, 400 \times 0.16)$，即$N(64, 64)$。
步骤 4：计算概率
所求概率为这本书印刷错误的总数不多于80个的概率，即$P(S \leqslant 80)$。将$S$标准化，得到$P(\frac{S - 64}{\sqrt{64}} \leqslant \frac{80 - 64}{\sqrt{64}})$，即$P(Z \leqslant 2)$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。查标准正态分布表，得到$P(Z \leqslant 2) = 0.9773$。