题目

13.（填空题，5.0分）若X~U(-2,2)，则P(X>0)=_____(用分数作答)

13.（填空题，5.0分） 若X~U(-2,2)，则P(X>0)=_____(用分数作答)

题目解答

答案

设 $X \sim U(-2, 2)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{4}$（当 $-2 \leq x \leq 2$）。 求 $P(X > 0)$，即计算 $X$ 在区间 $(0, 2]$ 内的概率： \[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \times (2 - 0) = \frac{1}{2} \] 因此，$P(X > 0) = \frac{1}{2}$。 答案：$\frac{1}{2}$

解析

本题考查均匀分布的概率计算。。解题思路是先明确均匀分布的概率密度函数，再根据概率密度函数的性质，对于均匀分布$X\sim U(a,b)$，其概率密度密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\leq x\leq b\\0,&\text{其他}\end{cases}$，要求$P(X\gt0)$，可通过对概率密度函数在区间$(0,2]$上进行积分来计算计算，也可以根据均匀分布的几何意义，即概率等于对应区间长度与总区间长度的比值来计算。

方法一：利用积分法

已知$X\sim U(-2,2)$，根据均匀分布概率密度函数公式可得其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2 - (-2)}=\frac{1}{4},& -2\leq x\leq 2\\0,&\text{其他}\end{cases}$
要求$P(X\gt0)$，即计算$X$在区间$(0,2]$内的概率，根据连续型随机变量概率的计算方法，对概率密度函数在该区间上进行积分：
$\begin{align*}P(X\gt0)&=\int_{0}^{2}f(x)dx\\&=\int_{0^{2}\frac{1}{4}dx\\&=\frac{1}{4}x\big|_{0}^{2}\\&=\frac{1}{4}\times(2 - 0)\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

方法二：几何意义法

对于均匀分布$X\sim U(-2,2)$，总区间长度为$2 - (-2)=4$。
要求$P(X\gt0)$，对应的区间为$(0,2]\，该区间长度为\2 - 0 = 2$。
根据均匀分布的几何意义，概率等于对应区间长度与总区间长度的比值，则$P(X\gt0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。