题目
某校大一新生中90%的年龄不小于18岁。现从这些新生中随机地抽查300名,试利用极限定理近似计算其中至少有30名小于18岁的概率。(已知Phi (0)=0.5000, Phi (2.5)=0.9772, Phi (3)=0.9987,根据需要选用。)
某校大一新生中90%的年龄不小于18岁。现从这些新生中随机地抽查300名,试利用极限定理近似计算其中至少有30名小于18岁的概率。(已知
,根据需要选用。)
题目解答
答案
解:因为新生中90%的年龄不小于18岁,所以任取一名学生其小于18岁的概率为0.1,设
为300名新生中小于18岁的人数,则
,分布律为
,
,
,…(3分)
用棣莫佛-拉普拉斯定理,
……………… (4分)
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量$X$表示从300名新生中随机抽查到的小于18岁的人数。由于新生中90%的年龄不小于18岁，因此任取一名学生其小于18岁的概率为0.1。因此，$X$服从二项分布，即$X\sim b(300,0.1)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X$的期望$E(X)=np=300\times0.1=30$，方差$D(X)=np(1-p)=300\times0.1\times0.9=27$。
步骤 3：利用中心极限定理近似计算概率
由于$n=300$较大，根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(30,27)$。因此，$P\{X\geqslant30\}$可以近似为$P\{Z\geqslant\dfrac{30-30}{\sqrt{27}}\}$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。由于$\dfrac{30-30}{\sqrt{27}}=0$，所以$P\{Z\geqslant0\}=1-P\{Z<0\}=1-\Phi(0)=1-0.5000=0.5000$。
设随机变量$X$表示从300名新生中随机抽查到的小于18岁的人数。由于新生中90%的年龄不小于18岁，因此任取一名学生其小于18岁的概率为0.1。因此，$X$服从二项分布，即$X\sim b(300,0.1)$。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，$X$的期望$E(X)=np=300\times0.1=30$，方差$D(X)=np(1-p)=300\times0.1\times0.9=27$。
步骤 3：利用中心极限定理近似计算概率
由于$n=300$较大，根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(30,27)$。因此，$P\{X\geqslant30\}$可以近似为$P\{Z\geqslant\dfrac{30-30}{\sqrt{27}}\}$，其中$Z$为标准正态分布的随机变量。由于$\dfrac{30-30}{\sqrt{27}}=0$，所以$P\{Z\geqslant0\}=1-P\{Z<0\}=1-\Phi(0)=1-0.5000=0.5000$。