【单选题】一组数据的标准分数其()A. 平均数为 1 ，方差为 0B. 平均数为 0 ，方差为 1C. 平均数为 0 ，方差为 0D. 平均数为 1 ，方差为 1

标准分数（Z分数）是将原始数据转化为均值为0、方差为1的数据的过程。其核心公式为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
其中，$\mu$ 是原始数据的平均数，$\sigma$ 是标准差。
关键点在于理解标准化后数据的性质：

1. 平均数为0：标准化消除了原始数据的位置（均值），使新数据围绕0对称。
2. 方差为1：标准化消除了原始数据的尺度（标准差），使数据波动幅度统一。

标准分数的平均数

设原始数据的平均数为 $\mu$，标准差为 $\sigma$，则标准分数为：
$Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$
计算标准分数的平均数：
$\bar{Z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right)$
由于 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu$，因此 $\bar{Z} = 0$。

标准分数的方差

方差计算公式为：
$\text{Var}(Z) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (Z_i - \bar{Z})^2$
代入 $\bar{Z} = 0$ 和 $Z_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$：
$\text{Var}(Z) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$
其中 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sigma^2$，因此 $\text{Var}(Z) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$。