3、设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 XXY~N(3 , 4) , Y~N(2 , 9) ,则 Z =3−~（ ）A. N(7 , 21)B. N(7 , 27)C. N(7 , 45)D. N(11, 45)

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立正态变量的线性组合的均值和方差计算。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：若$X$和$Y$独立且服从正态分布，则线性组合$aX + bY$仍服从正态分布。
2. 均值的线性性质：$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
3. 方差的独立性：若$X$和$Y$独立，则$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$。

破题关键点：

• 正确代入系数$a=3$和$b=-1$计算均值和方差。
• 注意方差计算中系数的平方和独立性的应用。

步骤1：计算均值$E(Z)$

根据期望的线性性质：
$E(Z) = E(3X - Y) = 3E(X) - E(Y)$
代入已知条件$E(X)=3$，$E(Y)=2$：
$E(Z) = 3 \times 3 - 2 = 9 - 2 = 7$

步骤2：计算方差$D(Z)$

由于$X$和$Y$独立，方差满足：
$D(Z) = D(3X - Y) = 3^2D(X) + (-1)^2D(Y)$
代入已知条件$D(X)=4$，$D(Y)=9$：
$D(Z) = 9 \times 4 + 1 \times 9 = 36 + 9 = 45$

步骤3：确定分布形式

$Z$服从正态分布，均值为$7$，方差为$45$，即：
$Z \sim N(7, 45)$