题目
设总体X服从几何分布：P(X=k)=（1-p）k-1p（0<1），k=1，2，3，...。求P的极大似然估计量。
设总体X服从几何分布：P{X=k}=（1-p）k-1p（0
<1），k=1，2，3，...。求P的极大似然估计量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出总体分布律
总体X服从几何分布，其分布律为：$P\{ X=k\}={(1-p)}^{k-1}p$，其中$0步骤 2：写出似然函数
对于样本${X}_{1},{X}_{2},...,{X}_{n}$，似然函数为：$L(p)=\prod _{i=1}^{n}{(1-p)}^{{X}_{i}-1}p={p}^{n}{(1-p)}^{\sum _{i=1}^{n}({X}_{i}-1)}$。
步骤 3：对似然函数取对数
取对数似然函数：$\ln L=n\ln p+(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n)\ln (1-p)$。
步骤 4：求对数似然函数的导数
对$\ln L$关于$p$求导：$\dfrac {d\ln L}{dp}=\dfrac {n}{p}-\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n}{1-p}$。
步骤 5：求导数等于0的解
令$\dfrac {d\ln L}{dp}=0$，解得$p$的极大似然估计值：$\hat {p}=\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}}=\dfrac {1}{\bar {X}}$，其中$\bar {X}$为样本均值。
总体X服从几何分布，其分布律为：$P\{ X=k\}={(1-p)}^{k-1}p$，其中$0
对于样本${X}_{1},{X}_{2},...,{X}_{n}$，似然函数为：$L(p)=\prod _{i=1}^{n}{(1-p)}^{{X}_{i}-1}p={p}^{n}{(1-p)}^{\sum _{i=1}^{n}({X}_{i}-1)}$。
步骤 3：对似然函数取对数
取对数似然函数：$\ln L=n\ln p+(\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n)\ln (1-p)$。
步骤 4：求对数似然函数的导数
对$\ln L$关于$p$求导：$\dfrac {d\ln L}{dp}=\dfrac {n}{p}-\dfrac {\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}-n}{1-p}$。
步骤 5：求导数等于0的解
令$\dfrac {d\ln L}{dp}=0$，解得$p$的极大似然估计值：$\hat {p}=\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}}=\dfrac {1}{\bar {X}}$，其中$\bar {X}$为样本均值。