设函数f(z)与g(z)分别以z=a为本性奇点与m阶极点，则z=a为函数f(z)g(z)的（ ）。A. 可去奇点B. 本性奇点C. m阶极点D. 小于m阶极点

考查要点：本题主要考查复变函数中奇点类型的判定，特别是本性奇点与极点相乘后的性质。

解题核心思路：

• 本性奇点的函数在奇点处的洛朗展开式有无限多个负幂次项，而m阶极点的函数展开式中主部仅有有限个负幂次项（最高次为$z^{-m}$）。
• 乘积$f(z)g(z)$的洛朗展开式中，主部由$f(z)$的无限项与$g(z)$的有限项相乘产生，最终仍保留无限个负幂次项，因此奇点类型仍为本性奇点。

破题关键点：

• 明确本性奇点和极点的洛朗展开形式差异。
• 理解乘积展开后主部项的无限性决定了奇点类型。

设函数$f(z)$在$z=a$处为本性奇点，则其洛朗展开式为：
$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-a)^n$
其中主部（负幂次项）有无限多项。

函数$g(z)$在$z=a$处为m阶极点，可表示为：
$g(z) = (z-a)^{-m} h(z)$
其中$h(z)$在$z=a$处解析且$h(a) \neq 0$，其洛朗展开式主部仅有有限项（最高次为$(z-a)^{-m}$）。

乘积$f(z)g(z)$的展开式：
$f(z)g(z) = \left( \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-a)^n \right) \cdot (z-a)^{-m} h(z)$

主部分析：

• $f(z)$的主部$\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^n$与$(z-a)^{-m}$相乘后，生成新的主部项：
  $\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-a)^{n-m}$
  由于$n$从$-\infty$到$-1$，$n-m$的取值范围仍为$-\infty$到$-m-1$，即主部仍有无限多项。
• $h(z)$的展开式为泰勒级数，与主部相乘不会改变主部的无限性。

因此，$f(z)g(z)$在$z=a$处的洛朗展开式主部仍为无限多项，故$z=a$为本性奇点。