题目

甲、乙、丙3人向一架飞机进行射击，设他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。又设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中3弹必然被击落。今3人各射击一次，求飞机被击落的概率。

甲、乙、丙3人向一架飞机进行射击，设他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。又设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中3弹必然被击落。今3人各射击一次，求飞机被击落的概率。

题目解答

答案

我们来一步一步地解决这个概率问题。

题目已知条件：

  • 甲、乙、丙三人独立射击一架飞机。
  • 他们的命中率分别为：
    • 甲：0.4
    • 乙：0.5
    • 丙：0.7
  • 飞机被击落的概率取决于中弹的次数：
    • 中 1 弹：被击落的概率为 0.2
    • 中 2 弹：被击落的概率为 0.6
    • 中 3 弹：被击落的概率为 1.0
  • 三人各射击一次，求飞机被击落的总概率。

解题思路：

由于三人射击是相互独立的，我们可以先计算飞机中 0 弹、1 弹、2 弹、3 弹的概率，然后根据每种中弹情况下的击落概率，用全概率公式求出飞机被击落的总概率。

设事件：

  • $ A $：飞机被击落
  • $ D_k $：飞机中 $ k $ 弹（$ k = 0,1,2,3 $）

则：
$P(A) = \sum_{k=0}^{3} P(D_k) \cdot P(A \mid D_k)$

其中：

  • $ P(A \mid D_0) = 0 $（没中弹，不会被击落）
  • $ P(A \mid D_1) = 0.2 $
  • $ P(A \mid D_2) = 0.6 $
  • $ P(A \mid D_3) = 1.0 $

所以我们需要计算 $ P(D_1), P(D_2), P(D_3) $，而 $ P(D_0) $ 也可以算出来用于验证。

第一步：计算中弹数的概率

设：

  • 甲命中：$ A $，$ P(A) = 0.4 $，不命中 $ P(\bar{A}) = 0.6 $
  • 乙命中：$ B $，$ P(B) = 0.5 $，不命中 $ P(\bar{B}) = 0.5 $
  • 丙命中：$ C $，$ P(C) = 0.7 $，不命中 $ P(\bar{C}) = 0.3 $

1. 中 0 弹：三人都未命中

$P(D_0) = P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = 0.6 \times 0.5 \times 0.3 = 0.09$

2. 中 1 弹：只有一人命中，其余两人未命中

有三种情况：

  • 仅甲命中：$ A \bar{B} \bar{C} $：$ 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.06 $
  • 仅乙命中：$ \bar{A} B \bar{C} $：$ 0.6 \times 0.5 \times 0.3 = 0.09 $
  • 仅丙命中：$ \bar{A} \bar{B} C $：$ 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.21 $

所以：
$P(D_1) = 0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36$

3. 中 2 弹：两人命中，一人未命中

有三种情况：

  • 甲乙命中，丙未中：$ A B \bar{C} $：$ 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.06 $
  • 甲丙命中，乙未中：$ A \bar{B} C $：$ 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14 $
  • 乙丙命中，甲未中：$ \bar{A} B C $：$ 0.6 \times 0.5 \times 0.7 = 0.21 $

所以：
$P(D_2) = 0.06 + 0.14 + 0.21 = 0.41$

4. 中 3 弹：三人都命中

$P(D_3) = P(A \cap B \cap C) = 0.4 \times 0.5 \times 0.7 = 0.14$

验证概率总和：

$P(D_0) + P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) = 0.09 + 0.36 + 0.41 + 0.14 = 1.00$
正确，概率分布完整。

第二步：计算飞机被击落的总概率

使用全概率公式：
$P(A) = P(D_0) \cdot 0 + P(D_1) \cdot 0.2 + P(D_2) \cdot 0.6 + P(D_3) \cdot 1.0$

代入数值：
$P(A) = 0 + 0.36 \times 0.2 + 0.41 \times 0.6 + 0.14 \times 1.0$

逐项计算：

  • $ 0.36 \times 0.2 = 0.072 $
  • $ 0.41 \times 0.6 = 0.246 $
  • $ 0.14 \times 1.0 = 0.14 $

相加：
$P(A) = 0.072 + 0.246 + 0.14 = 0.458$

最终答案：

$\boxed{0.458}$

即，飞机被击落的概率为 0.458。

解析

本题考查全概率公式以及独立事件概率的计算。解题思路是先根据三人射击的独立性，分别计算飞机中$0$弹、$1$弹、$2$弹、$3$弹的概率，再结合每种中弹情况下飞机被击落的概率，利用全概率公式计算飞机被击落的总概率。

设事件：
$A$：飞机被击落；$D_k$：飞机中$k$弹（$k = 0,1,2,3$）。
根据全概率公式$P(A)=\sum_{k = 0}^{3}P(D_k)\cdot P(A\mid D_k)$，其中$P(A\mid D_0) = 0$（没中弹，不会被击落），$P(A\mid D_1) = 0.2$，$P(A\mid D_2) = 0.6$，$P(A\mid D_3) = 1.0$。

设甲命中为事件$A_1$，$P(A_1)=0.4$，则$P(\overline{A_1}) = 1 - 0.4 = 0.6$；
乙命中为事件$A_2$，$P(A_2)=0.5$，则$P(\overline{A_2}) = 1 - 0.5 = 0.5$；
丙命中为事件$A_3$，$P(A_3)=0.7$，则$P(\overline{A_3}) = 1 - 0.7 = 0.3$。

  1. 计算飞机中$0$弹的概率$P(D_0)$
    飞机中$0$弹即三人都未命中，因为三人射击相互独立，所以根据独立事件概率乘法公式可得：
    $P(D_0)=P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3})=P(\overline{A_1})\times P(\overline{A_2})\times P(\overline{A_3}) = 0.6\times0.5\times0.3 = 0.09$

  2. 计算飞机中$1$弹的概率$P(D_1)$
    飞机中$1$弹有三种情况：仅甲命中、仅乙命中、仅丙命中。

  • 仅甲命中：$P(A_1\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3})=P(A_1)\times P(\overline{A_2})\times P(\overline{A_3}) = 0.4\times0.5\times0.3 = 0.06$
  • 仅乙命中：$P(\overline{A_1}\cap A_2\cap\overline{A_3})=P(\overline{A_1})\times P(A_2)\times P(\overline{A_3}) = 0.6\times0.5\times0.3 = 0.09$
  • 仅丙命中：$P(\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap A_3)=P(\overline{A_1})\times P(\overline{A_2})\times P(A_3) = 0.6\times0.5\times0.7 = 0.21$
    因为这三种情况是互斥的，所以根据互斥事件概率加法公式可得：
    $P(D_1)=0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36$
  1. 计算飞机中$2$弹的概率$P(D_2)$
    飞机中$2$弹也有三种情况：甲乙命中丙未中、甲丙命中乙未中、乙丙命中甲未中。
  • 甲乙命中丙未中：$P(A_1\cap A_2\cap\overline{A_3})=P(A_1)\times P(A_2)\times P(\overline{A_3}) = 0.4\times0.5\times0.3 = 0.06$
  • 甲丙命中乙未中：$P(A_1\cap\overline{A_2}\cap A_3)=P(A_1)\times P(\overline{A_2})\times P(A_3) = 0.4\times0.5\times0.7 = 0.14$
  • 乙丙命中甲未中：$P(\overline{A_1}\cap A_2\cap A_3)=P(\overline{A_1})\times P(A_2)\times P(A_3) = 0.6\times0.5\times0.7 = 0.21$
    同样，这三种情况是互斥的，所以：
    $P(D_2)=0.06 + 0.14 + 0.21 = 0.41$
  1. 计算飞机中$3$弹的概率$P(D_3)$
    飞机中$3$弹即三人都命中，根据独立事件概率乘法公式可得：
    $P(D_3)=P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)\times P(A_2)\times P(A_3) = 0.4\times0.5\times0.7 = 0.14$

验证概率总和：$P(D_0)+P(D_1)+P(D_2)+P(D_3)=0.09 + 0.36 + 0.41 + 0.14 = 1.00$，概率分布完整。

  1. 计算飞机被击落的总概率$P(A)$
    将上述计算得到的$P(D_0)$、$P(D_1)$、$P(D_2)$、$P(D_3)$以及$P(A\mid D_0)$、$P(A\mid D_1)$、$P(A\mid D_2)$、$P(A\mid D_3)$代入全概率公式可得：
    $P(A)=P(D_0)\cdot P(A\mid D_0)+P(D_1)\cdot P(A\mid D_1)+P(D_2)\cdot P(A\mid D_2)+P(D_3)\cdot P(A\mid D_3)$
    $=0\times0 + 0.36\times0.2 + 0.41\times0.6 + 0.14\times1.0$
    $=0 + 0.072 + 0.246 + 0.14$
    $= 0.458$