25 [单选题] 函数y=x^2e^-x及图象在(1,2)内是( 2分 A. 单调减少且是凸的 B. 单调增加且是凸的 C. 单调减少且是凹的 D. 单调增加且是凹的

为了确定函数 $ y = x^2 e^{-x} $ 在区间 $(1, 2)$ 内的性质，我们需要分析函数的一阶和二阶导数。一阶导数将帮助我们确定函数是单调增加还是单调减少，而二阶导数将帮助我们确定函数是凸的还是凹的。 ### 第一步：找到一阶导数 函数是 $ y = x^2 e^{-x} $。使用乘积法则，我们得到： \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 e^{-x}) = x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) + e^{-x} \frac{d}{dx}(x^2) = x^2 (-e^{-x}) + e^{-x} (2x) = e^{-x} (2x - x^2) \] 因此，一阶导数是： \[ y' = e^{-x} (2x - x^2) \] ### 第二步：确定一阶导数在区间 $(1, 2)$ 内的符号 由于 $ e^{-x} $ 对于所有 $ x $ 都是正的，$ y' $ 的符号取决于 $ 2x - x^2 $ 的符号。让我们在区间 $(1, 2)$ 内分析 $ 2x - x^2 $： \[ 2x - x^2 = x(2 - x) \] 对于 $ x \in (1, 2) $，$ x $ 是正的，$ 2 - x $ 也是正的（因为 $ 2 > x $）。因此，$ x(2 - x) $ 是正的。这意味着 $ y' $ 在区间 $(1, 2)$ 内是正的。 由于 $ y' > 0 $ 在 $(1, 2)$ 内，函数 $ y = x^2 e^{-x} $ 在 $(1, 2)$ 内是单调增加的。 ### 第三步：找到二阶导数 为了找到二阶导数，我们对一阶导数 $ y' = e^{-x} (2x - x^2) $ 进行微分： \[ y'' = \frac{d}{dx}(e^{-x} (2x - x^2)) = e^{-x} \frac{d}{dx}(2x - x^2) + (2x - x^2) \frac{d}{dx}(e^{-x}) = e^{-x} (2 - 2x) + (2x - x^2) (-e^{-x}) = e^{-x} (2 - 2x - 2x + x^2) = e^{-x} (x^2 - 4x + 2) \] 因此，二阶导数是： \[ y'' = e^{-x} (x^2 - 4x + 2) \] ### 第四步：确定二阶导数在区间 $(1, 2)$ 内的符号 由于 $ e^{-x} $ 对于所有 $ x $ 都是正的，$ y'' $ 的符号取决于 $ x^2 - 4x + 2 $ 的符号。让我们在区间 $(1, 2)$ 内分析 $ x^2 - 4x + 2 $： 二次方程 $ x^2 - 4x + 2 = 0 $ 的根是： \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] 根是 $ x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 $ 和 $ x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 $。二次函数 $ x^2 - 4x + 2 $ 是一个开口向上的抛物线，因此在根 $ 2 - \sqrt{2} $ 和 $ 2 + \sqrt{2} $ 之间是负的。由于 $ 1 $ 和 $ 2 $ 都在区间 $ (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) $ 内，$ x^2 - 4x + 2 $ 在区间 $(1, 2)$ 内是负的。 因此，$ y'' < 0 $ 在区间 $(1, 2)$ 内，这意味着函数 $ y = x^2 e^{-x} $ 在 $(1, 2)$ 内是凸的。 ### 结论 函数 $ y = x^2 e^{-x} $ 在区间 $(1, 2)$ 内是单调增加且凸的。因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]