1.(2024数三)已知lim_(n to infty)a_(n)=2,lim_(n to infty)b_(n)=-3,则lim_(n to infty)a_(n)(b_(n)+1)=_____.

考查要点：本题主要考查数列极限的四则运算性质，特别是乘法和加法的结合应用。

解题核心思路：

1. 利用极限的加法性质，先求出$b_n + 1$的极限；
2. 应用极限的乘法性质，将原式分解为两个已知极限的乘积；
3. 或通过展开表达式，分别求$a_n b_n$和$a_n$的极限再相加。

破题关键点：

• 明确极限的运算顺序，优先处理括号内的加法，再进行乘法运算；
• 灵活选择方法，直接应用乘法性质或展开后分步计算均可。

步骤1：求$b_n + 1$的极限
根据极限的加法性质：
$\lim_{n \to \infty} (b_n + 1) = \lim_{n \to \infty} b_n + \lim_{n \to \infty} 1 = -3 + 1 = -2$

步骤2：应用极限的乘法性质
将原式分解为两个已知极限的乘积：
$\lim_{n \to \infty} a_n (b_n + 1) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} (b_n + 1) = 2 \cdot (-2) = -4$

或展开表达式后分步计算：
将原式展开为$a_n b_n + a_n$，分别求极限再相加：
$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty} (a_n b_n + a_n) &= \lim_{n \to \infty} a_n b_n + \lim_{n \to \infty} a_n \\&= (2 \cdot -3) + 2 \\&= -6 + 2 \\&= -4\end{aligned}$