题目
2.某网店一种商品的日销售量（单位：件）X服从参数为7的泊松分布，求该网店这种商品周销量在42件到56件的概率。
2.某网店一种商品的日销售量（单位：件）X服从参数为7的泊松分布，求该网店这种商品周销量在42件到56件的概率。
题目解答
答案
设日销量 $X$ 服从参数为7的泊松分布，周销量 $Y = \sum_{i=1}^{7} X_i$。
期望与方差：
\[
E(Y) = 7 \times 7 = 49, \quad D(Y) = 7 \times 7 = 49
\]
标准化 $Y$：
\[
Z = \frac{Y - 49}{7}, \quad P(42 \leq Y \leq 56) = P(-1 \leq Z \leq 1)
\]
查表得 $\Phi(1) \approx 0.8413$，则：
\[
P(-1 \leq Z \leq 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826
\]
**答案：** $\boxed{0.6826}$
解析
步骤 1：定义周销量的随机变量
设日销量 $X$ 服从参数为7的泊松分布，周销量 $Y = \sum_{i=1}^{7} X_i$，其中 $X_i$ 表示第 $i$ 天的销售量，$i = 1, 2, \ldots, 7$。
步骤 2：计算周销量的期望和方差
由于 $X_i$ 独立同分布，且每个 $X_i$ 都服从参数为7的泊松分布，因此周销量 $Y$ 的期望和方差分别为：
\[ E(Y) = E\left(\sum_{i=1}^{7} X_i\right) = \sum_{i=1}^{7} E(X_i) = 7 \times 7 = 49 \]
\[ D(Y) = D\left(\sum_{i=1}^{7} X_i\right) = \sum_{i=1}^{7} D(X_i) = 7 \times 7 = 49 \]
步骤 3：标准化周销量
将周销量 $Y$ 标准化为标准正态分布 $Z$：
\[ Z = \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}} = \frac{Y - 49}{7} \]
因此，周销量在42件到56件的概率可以表示为：
\[ P(42 \leq Y \leq 56) = P\left(\frac{42 - 49}{7} \leq Z \leq \frac{56 - 49}{7}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1) \]
步骤 4：查表计算概率
查标准正态分布表，得到 $\Phi(1) \approx 0.8413$，则：
\[ P(-1 \leq Z \leq 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826 \]
设日销量 $X$ 服从参数为7的泊松分布，周销量 $Y = \sum_{i=1}^{7} X_i$，其中 $X_i$ 表示第 $i$ 天的销售量，$i = 1, 2, \ldots, 7$。
步骤 2：计算周销量的期望和方差
由于 $X_i$ 独立同分布，且每个 $X_i$ 都服从参数为7的泊松分布，因此周销量 $Y$ 的期望和方差分别为：
\[ E(Y) = E\left(\sum_{i=1}^{7} X_i\right) = \sum_{i=1}^{7} E(X_i) = 7 \times 7 = 49 \]
\[ D(Y) = D\left(\sum_{i=1}^{7} X_i\right) = \sum_{i=1}^{7} D(X_i) = 7 \times 7 = 49 \]
步骤 3：标准化周销量
将周销量 $Y$ 标准化为标准正态分布 $Z$：
\[ Z = \frac{Y - E(Y)}{\sqrt{D(Y)}} = \frac{Y - 49}{7} \]
因此，周销量在42件到56件的概率可以表示为：
\[ P(42 \leq Y \leq 56) = P\left(\frac{42 - 49}{7} \leq Z \leq \frac{56 - 49}{7}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1) \]
步骤 4：查表计算概率
查标准正态分布表，得到 $\Phi(1) \approx 0.8413$，则：
\[ P(-1 \leq Z \leq 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826 \]