设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)（ ）设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)设(X1,X2,···,Xn )为来自正态总体 (mu ,(sigma )^2)

步骤 1：分析样本均值 $\overline {X}$ 的性质
当 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 为来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本时，$\overline {X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
当 $H_0: \mu = 0$ 成立时，$\overline {X}$ 服从正态分布 $N(0, \frac{\sigma^2}{n})$。

步骤 2：分析样本方差 $S^2$ 的性质
已知 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline {X})^2$，且 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。

步骤 3：确定检验统计量的分布
我们构造的检验统计量为 $T = \frac{\overline {X}}{S/\sqrt{n}}$。
由于 $\overline {X}$ 服从 $N(0, \frac{\sigma^2}{n})$，则 $\frac{\overline {X}}{\sigma/\sqrt{n}}$ 服从 $N(0, 1)$。
又因为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
根据 t 分布的定义：若 $U$ 服从 $N(0, 1)$，$V$ 服从 $\chi^2(m)$，且 $U$ 与 $V$ 相互独立，则 $T = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{m}}}$ 服从 $t(m)$ 分布。
在这里 $m = n-1$，$U = \frac{\overline {X}}{\sigma/\sqrt{n}}$，$V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，所以 $T = \frac{\overline {X}}{S/\sqrt{n}}$ 服从 $t(n-1)$ 分布。