要使函数f(x)=cosx是随变量x的密度函数,则X的取值区间可以是（）A. [-π/2,0]B. [π/2,π]C. [0,π]D. [-π/4,π/4]

关键知识点：概率密度函数的两个基本条件：

1. 非负性：对任意$x$属于定义域，$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：在定义域上的积分$\int f(x)dx = 1$。

解题核心思路：
对每个选项的区间，验证非负性和归一性是否同时成立。若满足，则为正确答案。

选项分析

选项A：$[-\pi/2, 0]$

1. 非负性：
   当$x \in [-\pi/2, 0]$时，$\cos x$的值从$0$增加到$1$，始终非负。
2. 归一性：
   计算积分：
   $\int_{-\pi/2}^{0} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{-\pi/2}^{0} = \sin 0 - \sin(-\pi/2) = 0 - (-1) = 1$
   满足归一性。

选项B：$[\pi/2, \pi]$

• 非负性：
  $\cos x$在$\pi/2$到$\pi$时为负数（例如$\cos \pi = -1$），不满足非负性。

选项C：$[0, \pi]$

• 非负性：
  在$0$到$\pi/2$时$\cos x \geq 0$，但$\pi/2$到$\pi$时$\cos x < 0$，整体不满足非负性。

选项D：$[-\pi/4, \pi/4]$

1. 非负性：
   $\cos x$在$[-\pi/4, \pi/4]$时始终为正。
2. 归一性：
   计算积分：
   $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin(\pi/4) - \sin(-\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \neq 1$
   不满足归一性。