11、设随机变量X~N(0,1),在X=x条件下随机变量Y~N(x,1),则X与Y的相关系数为A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (sqrt(3))/(3)D. (sqrt(2))/(2)

考查要点：本题主要考查条件分布下随机变量的相关系数计算，涉及协方差、方差的全公式以及相关系数的定义。

解题核心思路：

1. 利用全期望公式计算$E[Y]$和$E[XY]$；
2. 全方差公式计算$Y$的方差；
3. 结合协方差公式$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$，代入相关系数公式$\rho_{X,Y}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$。

破题关键点：

• 条件期望：在给定$X=x$时，$Y$的条件期望为$E[Y|X=x]=x$；
• 条件方差：在给定$X=x$时，$Y$的条件方差为$\text{Var}(Y|X=x)=1$；
• 全方差公式：$\text{Var}(Y)=E[\text{Var}(Y|X)]+\text{Var}(E[Y|X])$。

步骤1：计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$

1. 计算$E[XY]$：
   $E[XY] = E\left[ E[XY|X] \right] = E\left[ X \cdot E[Y|X] \right] = E\left[ X \cdot X \right] = E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 1 + 0 = 1.$
2. 计算$E[X]E[Y]$：
   $E[X] = 0, \quad E[Y] = E\left[ E[Y|X] \right] = E[X] = 0.$
3. 协方差：
   $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 1 - 0 = 1.$

步骤2：计算$Y$的方差$\text{Var}(Y)$

1. 条件方差的期望：
   $E[\text{Var}(Y|X)] = E[1] = 1.$
2. 条件期望的方差：
   $\text{Var}(E[Y|X]) = \text{Var}(X) = 1.$
3. 全方差公式：
   $\text{Var}(Y) = E[\text{Var}(Y|X)] + \text{Var}(E[Y|X]) = 1 + 1 = 2.$

步骤3：计算相关系数$\rho_{X,Y}$

1. 标准差：
   $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} = 1, \quad \sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{2}.$
2. 相关系数：
   $\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$