题目

1.电工器材厂生成一批保险丝，已知其熔化时间（单位：min）服从正态分布N(mu,sigma^2)，现从该批保险丝中取16根进行测试，计算得平均熔化时间为62.4，标准差为11。问在显著性水平alpha=0.05时，是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差为80？

1.电工器材厂生成一批保险丝，已知其熔化时间（单位：min）服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，现从该批保险丝中取16根进行测试，计算得平均熔化时间为62.4，标准差为11。问在显著性水平$\alpha=0.05$时，是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差为80？

题目解答

答案

为了确定在显著性水平$\alpha = 0.05$时，整批保险丝的熔化时间的方差是否为80，我们将使用卡方检验。以下是解题步骤： 1. **陈述假设：** - 零假设 $H_0: \sigma^2 = 80$ - 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 80$ 2. **确定检验统计量：** 卡方检验统计量用于方差由下式给出： \[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \] 其中 $n$ 是样本大小，$s^2$ 是样本方差，$\sigma_0^2$ 是假设的方差。这里，$n = 16$，$s^2 = 11^2 = 121$，$\sigma_0^2 = 80$。将这些值代入，我们得到： \[ \chi^2 = \frac{(16-1) \cdot 121}{80} = \frac{15 \cdot 121}{80} = \frac{1815}{80} = 22.6875 \] 3. **确定临界值：** 对于双侧检验，显著性水平$\alpha = 0.05$，自由度$df = n-1 = 15$，我们找到卡方分布表中$\chi^2_{0.025, 15}$和$\chi^2_{0.975, 15}$的值。从表中，我们发现： \[ \chi^2_{0.025, 15} = 27.488 \quad \text{和} \quad \chi^2_{0.975, 15} = 6.262 \] 因此，拒绝域是$\chi^2 < 6.262$或$\chi^2 > 27.488$。 4. **做出决策：** 将检验统计量$\chi^2 = 22.6875$与临界值进行比较。由于$6.262 < 22.6875 < 27.488$，我们不拒绝零假设。 5. **结论：** 在显著性水平$\alpha = 0.05$时，没有足够的证据拒绝零假设。因此，我们可以认为整批保险丝的熔化时间的方差为80。 最终答案是： \[ \boxed{\text{可以认为整批保险丝的熔化时间的方差为80}} \]

解析

考查要点：本题主要考查方差的卡方检验，用于判断总体方差是否等于某个特定值。
解题核心思路：

  1. 建立假设：零假设为总体方差等于80，备择假设为总体方差不等于80。
  2. 计算卡方检验统计量，公式为 $\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$，其中 $s^2$ 是样本方差，$\sigma_0^2$ 是假设的总体方差。
  3. 确定临界值：根据显著性水平 $\alpha=0.05$ 和自由度 $df = n-1$，查找卡方分布表的双侧临界值。
  4. 比较统计量与临界值，判断是否拒绝零假设。

1. 建立假设

  • 零假设 $H_0: \sigma^2 = 80$
  • 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 80$

2. 计算卡方检验统计量

公式：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$
代入数据：

  • 样本量 $n = 16$
  • 样本方差 $s^2 = 11^2 = 121$
  • 假设方差 $\sigma_0^2 = 80$
    计算得：
    $\chi^2 = \frac{(16-1) \cdot 121}{80} = \frac{15 \cdot 121}{80} = 22.6875$

3. 确定临界值

  • 自由度 $df = n-1 = 15$
  • 双侧检验，$\alpha/2 = 0.025$ 和 $1 - \alpha/2 = 0.975$
  • 查卡方分布表：
    $\chi^2_{0.025, 15} = 27.488$，$\chi^2_{0.975, 15} = 6.262$
  • 拒绝域为 $\chi^2 < 6.262$ 或 $\chi^2 > 27.488$

4. 决策与结论

检验统计量 $\chi^2 = 22.6875$ 落在 $[6.262, 27.488]$ 内，不拒绝零假设。因此，没有足够证据表明总体方差不等于80。