题目
设X,Y是随机变量,且有E(X)=3,E(Y)=1,D(X)=4,D(Y)=9,令Z=5X-Y+15,分别在下列3种情况下求E(Z)和D(Z).(1)X,Y相互独立;(2)X,Y不相关;(3)X与Y的相关系数为0.25.
设$X,Y$是随机变量,且有$E\left(X\right)=3,E\left(Y\right)=1,D\left(X\right)=4,D\left(Y\right)=9$,令$Z=5X-Y+15$,分别在下列$3$种情况下求$E\left(Z\right)$和$D\left(Z\right)$.
$\left(1\right)X,Y$相互独立;
$\left(2\right)X,Y$不相关;
$\left(3\right)X$与$Y$的相关系数为$0.25$.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算$E(Z)$
根据期望的线性性质，我们有$E(Z) = E(5X - Y + 15) = 5E(X) - E(Y) + 15$。将给定的$E(X) = 3$和$E(Y) = 1$代入，得到$E(Z) = 5 \times 3 - 1 + 15 = 15 - 1 + 15 = 29$。
步骤 2：计算$D(Z)$在$X,Y$相互独立时
当$X,Y$相互独立时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y)$。将给定的$D(X) = 4$和$D(Y) = 9$代入，得到$D(Z) = 25 \times 4 + 9 = 100 + 9 = 109$。
步骤 3：计算$D(Z)$在$X,Y$不相关时
当$X,Y$不相关时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y)$。由于不相关意味着协方差为0，所以计算方式与步骤2相同，得到$D(Z) = 109$。
步骤 4：计算$D(Z)$在$X,Y$相关系数为$0.25$时
当$X,Y$相关系数为$0.25$时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y) - 2 \times 5 \times Cov(X,Y)$。其中$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \times \sqrt{D(X)D(Y)} = 0.25 \times \sqrt{4 \times 9} = 0.25 \times 6 = 1.5$。因此，$D(Z) = 25 \times 4 + 9 - 2 \times 5 \times 1.5 = 100 + 9 - 15 = 94$。
根据期望的线性性质，我们有$E(Z) = E(5X - Y + 15) = 5E(X) - E(Y) + 15$。将给定的$E(X) = 3$和$E(Y) = 1$代入，得到$E(Z) = 5 \times 3 - 1 + 15 = 15 - 1 + 15 = 29$。
步骤 2：计算$D(Z)$在$X,Y$相互独立时
当$X,Y$相互独立时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y)$。将给定的$D(X) = 4$和$D(Y) = 9$代入，得到$D(Z) = 25 \times 4 + 9 = 100 + 9 = 109$。
步骤 3：计算$D(Z)$在$X,Y$不相关时
当$X,Y$不相关时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y)$。由于不相关意味着协方差为0，所以计算方式与步骤2相同，得到$D(Z) = 109$。
步骤 4：计算$D(Z)$在$X,Y$相关系数为$0.25$时
当$X,Y$相关系数为$0.25$时，$D(Z) = D(5X - Y) = 25D(X) + D(Y) - 2 \times 5 \times Cov(X,Y)$。其中$Cov(X,Y) = \rho_{XY} \times \sqrt{D(X)D(Y)} = 0.25 \times \sqrt{4 \times 9} = 0.25 \times 6 = 1.5$。因此，$D(Z) = 25 \times 4 + 9 - 2 \times 5 \times 1.5 = 100 + 9 - 15 = 94$。