题目
16.设总体X的概率密度函数为f(x)=}theta^2xe^-theta x,&x>0,theta(&theta>0)(为未知参数),&(其他).X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的一个样本，x_(1),x_(2),...,x_(n)是其样本值，求θ的最大似然估计量.
16.设总体X的概率密度函数为
$f(x)=\begin{cases}\theta^{2}xe^{-\theta x},&x>0,\\\theta(&\theta>0)\text{为未知参数},&\text{其他}.\end{cases}$
$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的一个样本，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是其样本值，求θ的最大似然估计量.
题目解答
答案
为了找到参数$\theta$的最大似然估计量，我们需要遵循以下步骤：
1. **写出似然函数：**
似然函数$L(\theta)$是概率密度函数$f(x_i)$对于所有样本观察值$x_1, x_2, \ldots, x_n$的乘积。给定概率密度函数为：
\[
f(x) = \begin{cases}
\theta^2 x e^{-\theta x}, & x > 0, \\
0, & \text{其他},
\end{cases}
\]
似然函数为：
\[
L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \theta^2 x_i e^{-\theta x_i} = \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}.
\]
2. **取似然函数的自然对数：**
为了简化似然函数的处理，我们取自然对数：
\[
\ell(\theta) = \ln L(\theta) = \ln \left( \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i} \right) = 2n \ln \theta + \ln \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) - \theta \sum_{i=1}^n x_i.
\]
由于$\ln \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \ln x_i$，对数似然函数变为：
\[
\ell(\theta) = 2n \ln \theta + \sum_{i=1}^n \ln x_i - \theta \sum_{i=1}^n x_i.
\]
3. **对对数似然函数关于$\theta$求导：**
为了找到最大似然估计量，我们需要对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，并将其设为零：
\[
\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i.
\]
将导数设为零得到：
\[
\frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i = 0.
\]
解$\theta$，我们得到：
\[
\frac{2n}{\theta} = \sum_{i=1}^n x_i \implies \theta = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{2}{\bar{x}},
\]
其中$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$是样本均值。
4. **验证这个临界点是最大值：**
为了确保这个临界点是最大值，我们可以检查对数似然函数的二阶导数：
\[
\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = -\frac{2n}{\theta^2}.
\]
由于$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} < 0$对于$\theta > 0$，对数似然函数在$\theta = \frac{2}{\bar{x}}$处有最大值。
因此，$\theta$的最大似然估计量为：
\[
\boxed{\frac{2}{\bar{X}}}.
\]
解析
本题考查最大似然估计量的求解，解题思路是先根据总体的概率密度函数写出似然函数，再对似然函数取自然对数得到对数似然函数，接着对对数似然函数关于未知参数求导并令导数为零，解出未知参数的估计值，最后验证该估计值对应的是最大值。
- 写出似然函数：
已知总体$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\theta^{2}xe^{-\theta x},&x>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X$的一个样本，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是其样本值。
似然函数$L(\theta)$是概率密度函数$f(x_i)$对于所有样本观察值$x_1, x_2, \ldots, x_n$的乘积，即：
$\begin{align*}L(\theta) &= \prod_{i=1}^n f(x_i)\\&= \prod_{i=1}^n \theta^2 x_i e^{-\theta x_i}\\&= \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}\end{align*}$ - 取似然函数的自然对数：
为了简化似然函数的处理，对$L(\theta)$取自然对数，根据对数运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，$\ln(a^b)=b\ln a$可得：
$\begin{align*}\ell(\theta) &= \ln L(\theta)\\&= \ln \left( \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i} \right)\\&= 2n \ln \theta + \ln \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) - \theta \sum_{i=1}^n x_i\end{align*}$
又因为$\ln \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \ln x_i$，所以对数似然函数变为：
$\ell(\theta) = 2n \ln \theta + \sum_{i=1}^n \ln x_i - \theta \sum_{i=1}^n x_i$ - 对对数似然函数关于$\theta$求导：
对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i$
令$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即$\frac{2n}{\theta} - \sum_{i=1}^n x_i = 0$。
移项可得$\frac{2n}{\theta} = \sum_{i=1}^n x_i$，解出$\theta$为：
$\theta = \frac{2n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{2}{\bar{x}}$
其中$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$是样本均值。 - 验证这个临界点是最大值：
为了确保这个临界点是最大值，对$\ell(\theta)$求二阶导数，根据求导公式$(\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^2}$可得：
$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = -\frac{2n}{\theta^2}$
因为$\theta > 0$，所以$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} < 0$，这表明对数似然函数在$\theta = \frac{2}{\bar{x}}$处有最大值。
将样本值$x_i$替换为样本$X_i$，可得$\theta$的最大似然估计量为$\frac{2}{\bar{X}}$。