[ ((overline {X)(S)^2)}^2] =E[ (X)^2] [ ([ {({S)^2)}^2] }^2-|||-= D(overline {x))+([ E(overline {x))] }^2} D({s)^2)+([ E({s)^2)] }^2 },-|||-(X)=mu , .(overline (X))=dfrac ({sigma )^2}(n) ,-|||-.dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}sim (chi )^2(n-1) --|||-又由x^2分布的性质知,-|||-.[ dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}] =n-1 , [ dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}] =2(n-1) --|||-得 .((S)^2)=(sigma )^2 , ((S)^2)=dfrac ({20)^4}(n-1) --|||-将这些结果代入(A)式,得-|||-.[ ((overline {X)(S)^2)}^2] =(dfrac ({sigma )^2}(n)+(mu )^2)(dfrac ({20)^1}(n-1)+(sigma )^4)-|||-48.设总体X具有概率密度-|||-f(x)= ^2)x(e)^-x/theta ,xgt 0 0,xleqslant 0 . ,-|||-其中 theta gt 0 为未知参数,X1,X2,···,Xn是来自X的样本,x1,x2,···,xn是相应的-|||-样本观察值.-|||-(1)求θ的最大似然估计量.-|||-(2)求θ的矩估计量.-|||-(3)问求得的估计量是否是无偏估计量.-|||-解(1)由X的样本观察值x1,x2,···,xn以及X的概率密度的形式,得似-|||-处函数出

考查要点：本题主要考查参数估计中的最大似然估计、矩估计以及无偏性的判断，涉及概率密度函数的积分计算和期望性质的应用。

解题思路：

1. 最大似然估计：通过构造似然函数，取对数后求导，解方程得到估计量。
2. 矩估计：利用总体矩（如一阶原点矩）与样本矩相等建立方程，解出参数。
3. 无偏性：计算估计量的期望，验证其是否等于被估计参数。

破题关键：

• 似然函数的构造：注意独立样本下概率密度的乘积形式。
• 积分计算：计算期望时，通过变量代换将积分转化为伽马函数形式。
• 无偏性验证：利用样本均值的无偏性推导估计量的期望。

第（1）题：最大似然估计量

构造似然函数

样本的似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta^2} x_i e^{-x_i/\theta} = \frac{1}{\theta^{2n}} \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) e^{-\sum_{i=1}^{n} x_i / \theta}$

取对数并求导

对数似然函数为：
$\ln L = -2n \ln \theta + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_i$
对 $\theta$ 求导并令导数为零：
$\frac{d}{d\theta} \ln L = -\frac{2n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$

解方程

解得：
$\hat{\theta} = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{2} \overline{X}$

第（2）题：矩估计量

计算总体均值

$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta^2} x e^{-x/\theta} dx = \theta \int_{0}^{\infty} u^2 e^{-u} du = 2\theta$

建立矩方程

令样本均值 $\overline{X}$ 估计总体均值 $2\theta$：
$\overline{X} = 2\theta \implies \hat{\theta} = \frac{1}{2} \overline{X}$

第（3）题：无偏性判断

计算估计量的期望

$E\left( \hat{\theta} \right) = E\left( \frac{1}{2} \overline{X} \right) = \frac{1}{2} E(\overline{X}) = \frac{1}{2} \cdot 2\theta = \theta$
因此，$\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。