题目
120-|||-111-|||-102-|||-93-|||-84-|||-75-|||-66-|||-57-|||-48-|||-39-|||-30-|||-21|-|||-0 1 2 3 4 5 6 7 8 92019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了如下的散点图．现考虑用反比例函数模型y=a+(b)/(x)和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合．为此变换如下：令u=(1)/(x)，则y=a+bu，即y与u满足线性关系；令v=lny，则v=lnc+dx，即v与x也满足线性关系．这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为hat y=96.54(e^dx)，v与x的相关系数r1=-0.94，其他参考数据如表（其中ui=(1)/(({x_i))}vi=lnyi）： sum_(i=1)^8uiyi overline(u) overline(u)2 sum_(i=1)^8ui2 sum_(i=1)^8yi sum_(i=1)^8yi2 sqrt(0.61×6185.5) e-2 ln96.54 overline(v) 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22385.5 61.4 0.135 4.6 3.7 （Ⅰ）求指数函数模型和反比例函数模型中y关于x的回归方程；（Ⅱ）试计算y与u的相关系数r2，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（Ⅲ）根据（Ⅱ）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）．根据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的情况如表： 订单数（千件） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 概率 （(1)/(2)）10 （(1)/(2)）9 （(1)/(2)）8 （(1)/(2)）7 （(1)/(2)）6 （(1)/(2)）5 （(1)/(2)）4 （(1)/(2)）3 （(1)/(2)）2 (1)/(2) （(1)/(2)）10 已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：hat(β)=(sum_(i=1)^n)/(u)_(i{v)_(i)-noverline(uv)}(sum_{i=1)^n(u)_(i)^2-n(overline{u)}^2}，hat(α)=overline(v)-hat(β)overline(u)，相关系数r=(sum_(i=1)^n)/(u)_(i{v)_(i)-noverline(uv)}(sqrt(（sum_{i=1)^n{u)_(i)^2-n(overline{u)}^2）（sum_(i=1)^n(v)_(i)^2-n(overline{v)}^2）}}．
2019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y | 112 | 61 | 44.5 | 35 | 30.5 | 28 | 25 | 24 |
现考虑用反比例函数模型y=a+$\frac{b}{x}$和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合．为此变换如下：
令u=$\frac{1}{x}$，则y=a+bu，即y与u满足线性关系；令v=lny，则v=lnc+dx，即v与x也满足线性关系．这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为$\hat y=96.54{e^{dx}}$，v与x的相关系数r1=-0.94，其他参考数据如表（其中ui=$\frac{1}{{{x_i}}}$vi=lnyi）：
| $\sum_{i=1}^{8}$uiyi | $\overline{u}$ | $\overline{u}$2 | $\sum_{i=1}^{8}$ui2 | $\sum_{i=1}^{8}$yi | $\sum_{i=1}^{8}$yi2 | $\sqrt{0.61×6185.5}$ | e-2 | ln96.54 | $\overline{v}$ |
| 183.4 | 0.34 | 0.115 | 1.53 | 360 | 22385.5 | 61.4 | 0.135 | 4.6 | 3.7 |
（Ⅱ）试计算y与u的相关系数r2，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）．根据市场调研数据，该产品单价定为100元时得到签订订单的情况如表：
| 订单数（千件） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 概率 | （$\frac{1}{2}$）10 | （$\frac{1}{2}$）9 | （$\frac{1}{2}$）8 | （$\frac{1}{2}$）7 | （$\frac{1}{2}$）6 | （$\frac{1}{2}$）5 | （$\frac{1}{2}$）4 | （$\frac{1}{2}$）3 | （$\frac{1}{2}$）2 | $\frac{1}{2}$ | （$\frac{1}{2}$）10 |
参考公式：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{uv}}{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}^{2}-n{\overline{u}}^{2}}$，$\hat{α}$=$\overline{v}$$-\hat{β}$$\overline{u}$，相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{uv}}{\sqrt{（\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}^{2}-n{\overline{u}}^{2}）（\sum_{i=1}^{n}{v}_{i}^{2}-n{\overline{v}}^{2}）}}$．
题目解答
答案
解：（Ⅰ）因为$\widehaty=96.54{e^{dx}}$，所以lny=ln96.54+dx⇔v=4.6+dx，
将$\overline v=3.7，\overline x=4.5$代入上式，得d=-0.2，所以$\widehaty=96.54{e^{-0.2x}}$．
令$u=\frac{1}{x}$，则y=b+au，
因为$\overline y=\frac{{360}}{8}=45$，所以$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{y_i}-8\overline u•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^8{u_i^2-8{{\overline u}^2}}}}=\frac{{183.4-8×0.34×45}}{{1.53-8×0.115}}=100$，
则$\widehata=\overline y-\widehatb•\overline u=45-100×0.34=11$，
所以$\widehaty=11+100u$，所以y关于x的回归方程为$\widehaty=11+\frac{{100}}{x}$．
综上，指数模型回归方程为$\widehaty=96.54{e^{-0.2x}}$，反比例函数回归方程为$\widehaty=11+\frac{{100}}{x}$．
（Ⅱ）y与u的相关系数为${r_2}=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{y_i}-8\overline u•\overline y}}}{{\sqrt{（{\sum_{i=1}^8{u_i^2-8{{\overline u}^2}}}）（{\sum_{i=1}^8{y_i^2-8{{\overline y}^2}}}）}}}=\frac{{61}}{{\sqrt{0.61×6185.5}}}=\frac{{61}}{{61.4}}≈0.99$，
因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好．
（Ⅲ）设该企业的订单期望为S（千件），则$S=1×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^9}+3×{（{\frac{1}{2}}）^8}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^1}+11×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}$，
令$T=1×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^9}+3×{（{\frac{1}{2}}）^8}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^1}$①，
则$\frac{1}{2}T=1×{（{\frac{1}{2}}）^{11}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+3×{（{\frac{1}{2}}）^9}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^2}$②，
②-①，得$-\frac{1}{2}T={（{\frac{1}{2}}）^{11}}+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+{（{\frac{1}{2}}）^9}+…+{（{\frac{1}{2}}）^2}-5$，
化简得$T=9+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}$，所以$S=9+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}×12=9+\frac{3}{{256}}$，
所以该企业的利润约为：$（{9+\frac{3}{{256}}}）×100-（{9+\frac{3}{{256}}}）×[{10+11+\frac{{100}}{{9+\frac{3}{{256}}}}}]≈612$（千元）．
注意：若将S先行四舍五入得9千件，利润算得611千元，扣一分．
将$\overline v=3.7，\overline x=4.5$代入上式，得d=-0.2，所以$\widehaty=96.54{e^{-0.2x}}$．
令$u=\frac{1}{x}$，则y=b+au，
因为$\overline y=\frac{{360}}{8}=45$，所以$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{y_i}-8\overline u•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^8{u_i^2-8{{\overline u}^2}}}}=\frac{{183.4-8×0.34×45}}{{1.53-8×0.115}}=100$，
则$\widehata=\overline y-\widehatb•\overline u=45-100×0.34=11$，
所以$\widehaty=11+100u$，所以y关于x的回归方程为$\widehaty=11+\frac{{100}}{x}$．
综上，指数模型回归方程为$\widehaty=96.54{e^{-0.2x}}$，反比例函数回归方程为$\widehaty=11+\frac{{100}}{x}$．
（Ⅱ）y与u的相关系数为${r_2}=\frac{{\sum_{i=1}^8{{u_i}{y_i}-8\overline u•\overline y}}}{{\sqrt{（{\sum_{i=1}^8{u_i^2-8{{\overline u}^2}}}）（{\sum_{i=1}^8{y_i^2-8{{\overline y}^2}}}）}}}=\frac{{61}}{{\sqrt{0.61×6185.5}}}=\frac{{61}}{{61.4}}≈0.99$，
因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好．
（Ⅲ）设该企业的订单期望为S（千件），则$S=1×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^9}+3×{（{\frac{1}{2}}）^8}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^1}+11×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}$，
令$T=1×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^9}+3×{（{\frac{1}{2}}）^8}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^1}$①，
则$\frac{1}{2}T=1×{（{\frac{1}{2}}）^{11}}+2×{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+3×{（{\frac{1}{2}}）^9}+…+10×{（{\frac{1}{2}}）^2}$②，
②-①，得$-\frac{1}{2}T={（{\frac{1}{2}}）^{11}}+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}+{（{\frac{1}{2}}）^9}+…+{（{\frac{1}{2}}）^2}-5$，
化简得$T=9+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}$，所以$S=9+{（{\frac{1}{2}}）^{10}}×12=9+\frac{3}{{256}}$，
所以该企业的利润约为：$（{9+\frac{3}{{256}}}）×100-（{9+\frac{3}{{256}}}）×[{10+11+\frac{{100}}{{9+\frac{3}{{256}}}}}]≈612$（千元）．
注意：若将S先行四舍五入得9千件，利润算得611千元，扣一分．