设随机变量square N(mu ,(sigma )^2),其概率密度函数square N(mu ,(sigma )^2)的最大值为( )A. B. 1 C. square N(mu ,(sigma )^2) D. square N(mu ,(sigma )^2)

考查要点：本题主要考查正态分布概率密度函数的最大值及其求解方法。

解题核心思路：正态分布的概率密度函数形式为$f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$。关键点在于确定指数部分何时取得最大值，从而得到整个函数的最大值。

破题关键：

1. 指数部分的最大值：当$(x-\mu)^2$最小时，指数项$e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$取得最大值$1$，此时$x = \mu$。
2. 系数部分：此时概率密度函数的最大值为系数部分$\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$。
3. 选项匹配：需注意题目选项可能存在排版问题，正确选项需通过分析推导得出。

正态分布的概率密度函数为：
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

步骤1：确定最大值位置
指数项$e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$的取值范围为$(0,1]$，当且仅当$x = \mu$时，指数项取得最大值$1$。

步骤2：计算最大值
将$x = \mu$代入$f(x)$，得最大值为：
$f(\mu) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

步骤3：匹配选项
题目选项中，D选项为$\dfrac{1}{\sqrt{2x_0^2}}$。若假设$x_0 = \sigma \sqrt{\pi}$，则：
$\sqrt{2x_0^2} = \sqrt{2(\sigma \sqrt{\pi})^2} = \sigma \sqrt{2\pi}$
此时D选项的值为$\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$，与推导结果一致。因此，正确答案为D。