题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，sigma^2 已知，则均值 mu 的置信区间长度 L 与置信度 1-alpha 的关系是(）.A. 当 1-alpha 减小时，L 缩短；B. 当 1-alpha 减小时，L 增大；C. 当 1-alpha 减小时，L 不变；D. 以上说法均不对.
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，则均值 $\mu$ 的置信区间长度 $L$ 与置信度 $1-\alpha$ 的关系是(）.
A. 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 缩短；
B. 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 增大；
C. 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 不变；
D. 以上说法均不对.
题目解答
答案
A. 当 $1-\alpha$ 减小时，$L$ 缩短；
解析
步骤 1：理解置信区间
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，当 $\sigma^2$ 已知时，均值 $\mu$ 的置信区间可以表示为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：分析置信区间长度与置信度的关系
置信区间长度 $L$ 可以表示为 $2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。当置信度 $1-\alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，$z_{\alpha/2}$ 减小，因此置信区间长度 $L$ 会缩短。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，当置信度 $1-\alpha$ 减小时，置信区间长度 $L$ 会缩短，因此正确答案是 A。
置信区间是统计学中用来估计总体参数的一个区间估计。对于正态分布总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，当 $\sigma^2$ 已知时，均值 $\mu$ 的置信区间可以表示为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：分析置信区间长度与置信度的关系
置信区间长度 $L$ 可以表示为 $2z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。当置信度 $1-\alpha$ 减小时，$\alpha$ 增大，$z_{\alpha/2}$ 减小，因此置信区间长度 $L$ 会缩短。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，当置信度 $1-\alpha$ 减小时，置信区间长度 $L$ 会缩短，因此正确答案是 A。