题目
设 f'( ln x) = x ln x，则 f^(n)(0) = _____。
设 $f'( \ln x) = x \ln x$，则 $f^{(n)}(0) = \_\_\_\_\_$。
题目解答
答案
我们来一步步分析题目：
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### **题目：**
设
$$
f'(\ln x) = x \ln x
$$
求
$$
f^{(n)}(0) = ?
$$
---
### **第一步：理解题意**
题目给出的是函数 $ f $ 的导函数在 $ \ln x $ 处的值，即：
$$
f'(\ln x) = x \ln x
$$
我们想求的是 $ f^{(n)}(0) $，也就是函数 $ f $ 在 0 处的第 $ n $ 阶导数。
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### **第二步：设变量替换**
我们设：
$$
u = \ln x \Rightarrow x = e^u
$$
代入原式：
$$
f'(u) = e^u \cdot u
$$
所以：
$$
f'(u) = u e^u
$$
---
### **第三步：求 $ f(u) $**
我们对 $ f'(u) = u e^u $ 积分，得到 $ f(u) $：
$$
f(u) = \int u e^u \, du
$$
使用**分部积分法**：
令：
- $ u = u $，则 $ du = du $
- $ dv = e^u du $，则 $ v = e^u $
分部积分公式：
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
所以：
$$
f(u) = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u + C
$$
因此：
$$
f(u) = e^u (u - 1) + C
$$
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### **第四步：求 $ f^{(n)}(0) $**
我们已经得到：
$$
f(u) = e^u (u - 1) + C
$$
我们要求的是 $ f^{(n)}(0) $，即 $ f $ 在 $ u = 0 $ 处的第 $ n $ 阶导数。
我们先去掉常数 $ C $，因为常数的导数为 0，对高阶导数没有影响。
所以我们重点研究：
$$
f(u) = e^u (u - 1)
$$
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### **第五步：展开 $ f(u) $ 为泰勒级数**
我们知道：
$$
e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}
$$
所以：
$$
f(u) = e^u (u - 1) = (u - 1) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}
$$
展开：
$$
f(u) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^{k+1}}{k!} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}
$$
我们来合并两个级数：
- 第一个级数：$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^{k+1}}{k!} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{u^m}{(m-1)!} $（令 $ m = k+1 $）
- 第二个级数：$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} $
所以：
$$
f(u) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{u^m}{(m-1)!} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!}
$$
我们统一变量为 $ m $，从 0 开始：
$$
f(u) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{u^m}{(m-1)!} - \sum_{m=0}^{\infty} \frac{u^m}{m!}
$$
我们可以把两个级数合并为一个：
$$
f(u) = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{u^m}{(m-1)!} - \frac{u^m}{m!} \right)
$$
注意：当 $ m = 0 $ 时，$ \frac{1}{(m-1)!} $ 没有定义，我们忽略这个项。
所以从 $ m = 1 $ 开始：
$$
f(u) = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(m-1)!} - \frac{1}{m!} \right) u^m
$$
这个就是 $ f(u) $ 的泰勒展开式。
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### **第六步：提取 $ f^{(n)}(0) $**
我们知道：
$$
f(u) = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(m-1)!} - \frac{1}{m!} \right) u^m
$$
而泰勒展开式的一般形式是：
$$
f(u) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} u^n
$$
所以我们比较系数：
$$
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!}
$$
两边乘以 $ n! $ 得：
$$
f^{(n)}(0) = n! \left( \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \right)
$$
化简：
$$
f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{1}{(n-1)!} - n! \cdot \frac{1}{n!} = n - 1
$$
---
### **最终答案：**
$$
\boxed{f^{(n)}(0) = n - 1}
$$